Trajet plus court

[puerta del sol]

bonjour a tous,
Dans l'impossibilité de répondre à la question " calculer la longueur IA", j'aimerais que l'on m'éclaire pour pouvoir la résoudre car elle reste pour moi une enigme... :doh:
Sachant quelle concerne un rayon, elle m'est indispensable pour mener à bien mon exercice :we:
voici le début de l'énoncé:

On prendra comme rayon terrestre 6400 km. O est le centre de la terre. Les coordonnées de Montréal ( point A) sont (45° N ; 74° W). Celles de Bucarest ( point B) sont ( 45° N : 26° E). A et B appartiennent à un même parallèle ( P). On appelle I le centre du cercle (P). Calculons la longueur de trois trajets en avion pour aller de A vers B :
1er trajet : l'avion se déplace en suivant le parallèle ( P).
- quelle est la mesure de l'angle AIB ?
- Considérer le triangle IOA rectangle en I :
Quelle est la valeur de l'angle IAO ?
Calculer la longueur IA.
Déduire de ce qui précède la longueur de l'arc AB centré en I.

bien évidemment, je ne souhaite pas qu'on fasse l'exo a ma place mais juste qu'on me donne une piste pour bien continuer.
merci d'avance

[rene38]

Bonjour

Avec un très grand couteau, tu coupes la terre en 2, la coupe passant par
le centre O de la terre, les 2 pôles et le point A.
Fais un dessin pour représenter cette coupe (place le point I).
Le reste n'est que Pythagore, cosinus, ...

[puerta del sol]

bonjour,

j'ai bien le triangle AIO rectangle en I avec l'angle AIO = 90°, l'angle IAO = 45° et l'angle IOA = 45° mais il nous manque la mesure d'un coté du triangle pour mesurer la longueur IA avec le cosinus ? :hein:

[yvelines78]

bonjour,

- quelle est la mesure de l'angle AIB ?
soit J le point situé sur le méridien 0° et sur la /: commun à A et B
A est situé sur le // de façon que AIJ=74° et B de telle façon que JIB=26°

- Considérer le triangle IOA rectangle en I :
Quelle est la valeur de l'angle IAO ?
soit A' le point situé sur le même méridien que montréal , IOA'=90°
Calculer la longueur IA.
pythagore OA=R

Déduire de ce qui précède la longueur de l'arc AB centré en I.
périmètre d'un cercle=2piR et 2piR correspond à 360°

[rene38]

... mais il nous manque la mesure d'un coté du triangle pour mesurer la longueur IA avec le cosinus ?

[OA] ne serait pas par hasard un rayon de la spère terrestre ? On connait donc OA.

[puerta del sol]

bonjour,
Avec votre aide, j'ai trouvé que l'angle AIB mesurait 100°, la valeur de l'angle IAO etait 45° et que la longueur AI mesurait cos 45° * AO = 4525 km ( environ)
Pour la longueur de l'arc AB centré en I, j'ai trouvé qu'il etait égal à pi*AI/180 * 100
= 7900km ( environ)
Mes résultats sont- ils justes ?

[rene38]

Mes résultats sont- ils justes ?

Oui, ils sont "environ" justes !

[puerta del sol]

2ème trajet : l'avion se déplace en passant par le pôle nord N
Il suit successivement le méridien de A jusqu'au pôle puis le méridien B.
Quelle est la longueur de ce 2ème trajet ?

Pour ce 2ème trajet:
Comme c'est une sphère, je me suis dit que l'arc de cercle AN devrait être égal au petit rayon AI et par conséquent, j'ai effectué le calcul suivant: AI*2 ( comme AN= NB)
= 9050 km ( environ)

N'étant pas trés sûr de ma réponse, j'aimerais savoir si elle est juste ou pas :zen:

[rene38]

Il suit successivement le méridien de A jusqu'au pôle puis le méridien B

Un méridien est un "grand cercle" c'est à dire un cercle dont le rayon est égal au rayon de la sphère.

Reste à connaitre les angles

[puerta del sol]

l'angle AON = l'angle AOI= 45°
Pour l'angle BON, je ne vois pas comment m'y prendre :hein:

[rene38]

l'angle AON = l'angle AOI= 45°

Oui

Pour l'angle BON, je ne vois pas comment m'y prendre

Au lieu de faire une coupe passant par A, tu la fais passer par B

[puerta del sol]

le triangle BOI serait rectangle en B et l'angle BON mesurerait 80° ? :hein:

[rene38]

Mais non : sur ton schéma précédent, remplace simplement la lettre A par B.

[puerta del sol]

Mais non : sur ton schéma précédent, remplace simplement la lettre A par B.

Mais on est dans l'impossiblité de répondre, il manque des données :hum:

[puerta del sol]

je crois avoir trouvé le raisonnement :
la longueur d'un arc est R/180 * l'angle correspondant
pour l'arc AN : *6400/180 * 45°
et on multiplie le tout par 2 comme il y a deux arcs
La longueur du trajet 2 est 10053 km