Equation différentielle

[georgess]

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : trouver la solution générale sur l'ntervalle ]2,+ inf[ de l'équation différentielle :

y' = (2/x(x-2))y + 2(x-2)

Je résouds l'équation homogène :

y' - y*(2/x(x-2)) = 0

y'/y = 2/x²-2x

ln y = ln(x-2 /x) * C

y = x-2 / x

Ensuite j'utilise la méthode de variation des constantes :

h'(x)*f(x) = 2(x-2)

h'(x) = 2x , donc h(x) = x² + C

La solution est donc x²-2x + C (x-2 / x) , j'ai sauté 1 ou 2 étapes , que pensez vous du résultat ?

merci

[atito]

Bonsoir , j'ai l'exercice suivant : trouver la solution générale sur l'ntervalle ]2,+ inf[ de l'équation différentielle :

y' = (2/x(x-2))y + 2(x-2)

Je résouds l'équation homogène :

y' - y*(2/x(x-2)) = 0

y'/y = 2/x²-2x

ln y = ln(x-2 /x) * C

y = x-2 / x

Ensuite j'utilise la méthode de variation des constantes :

h'(x)*f(x) = 2(x-2)

h'(x) = 2x , donc h(x) = x² + C

La solution est donc x²-2x + C (x-2 / x) , j'ai sauté 1 ou 2 étapes , que pensez vous du résultat ?

merci

Manque juste la rigeur a mon avis.
Quand tu divises par y il faut que tu vérifie, si cela est vrai que y ne s'annule pas. même si t'arrives au résultat ( que j'ai pas vérifié) il faut que tu raisonnes la dessus. Sinon la méthode est bonne, j'ai oublié le nom de la méthode changment de constante ou un truc ocmme ca
refais les étapes une par une et montre nous. bon courage

[ffpower]

c variation de la constante^^

[atito]

c variation de la constante^^

cheers
sinon il ya aussi le théorème de Cauchy sur l'unicité qui peut servir.
En gros si y s'annule a un point alors sa dérivé va s'annuler ( l'equation homogene) d'ou la solution est nulle. Ensuite donc tu suppose que y ne s'annule pas et tu donc tu peux diviser tranquilement . compris Goerge?

[georgess]

nan mais cest juste que la fonction g(x) qui est la solution finale c'est h(x)*f(x) , donc je suppose que j'ai bon à cet exercice ...

oui y ne s'annule pas , sauf en 2 mais c'est précisé au début dans le domaine def ( là je parle de l'équation homogène ) .

mais si quelqu'un voit un truc indispensable à préciser qu'il n'hésite pas ...

[atito]

nan mais cest juste que la fonction g(x) qui est la solution finale c'est h(x)*f(x) , donc je suppose que j'ai bon à cet exercice ...

oui y ne s'annule pas , sauf en 2 mais c'est précisé au début dans le domaine def ( là je parle de l'équation homogène ) .

mais si quelqu'un voit un truc indispensable à préciser qu'il n'hésite pas ...

Ce que je te dis est l'essentiel dans la démonstration et je suppose que t'as pas compris ce que je t'ai dis.
tu divises par y, solution de ton équation homogène, alors que tu ne démontre pas qu'elle ne s'annule pas. Si tu zappes cette étape t'as rien fais car le reste ce n'est que du calcul.

Autre chose: ou t'as vu que y ne s'annule pas? j'ai rien pigé à ce que tu dis avec l'ensemble de déf....

[georgess]

je suppose que y ne s'annule pas , je ne vois pas comment je pourrai le prouver étant donné qu'au début je ne connais rien de cette fonction .

[atito]

je suppose que y ne s'annule pas , je ne vois pas comment je pourrai le prouver étant donné qu'au début je ne connais rien de cette fonction .

je l'ai dis avant:

sinon il ya aussi le théorème de Cauchy sur l'unicité qui peut servir.
En gros si y s'annule a un point alors sa dérivé va s'annuler ( l'equation homogene) d'ou la solution est nulle. Ensuite donc tu suppose que y ne s'annule pas et tu donc tu peux diviser tranquilement

En fait tu supposes qu'elle s'annule pas alors que ce n'est pas vrai car y=0 ( comme fonction) est déjà une solution!! tu vois pourquoi je t'ai dis manque de rigueur?

[georgess]

oui , elle ne s'annule pas pour l'equation homogene . le theoreme de cauchy je ne l'ai pas vu pour les equa diff donc je ne pense pas que je dois l'utiliser dans l'exercice .

mais néanmoins je vois pas quoi dire pour l'equation homogene car t'as raison y = 0 est une solution et je divise par y pour l'homogene , donc que faire ?

[atito]

oui , elle ne s'annule pas pour l'equation homogene . le theoreme de cauchy je ne l'ai pas vu pour les equa diff donc je ne pense pas que je dois l'utiliser dans l'exercice .

mais néanmoins je vois pas quoi dire pour l'equation homogene car t'as raison y = 0 est une solution et je divise par y pour l'homogene , donc que faire ?

que fair? je l'ai dis deux fois!!
sinon la primitive est de 2/x(x-2) n'est pas correcte.

[georgess]

erreur de frappe désolé , la primitive c'est ln y = ln(x-2 /2) * C .

je suis désolé mais j'ai pas saisi entièrement ce que tu as dit , j'ai qu'à supposer que y ne s'annule pas c'est ça ? ( pas de theoreme de cauchy je l'ai pas vu )

[atito]

erreur de frappe désolé , la primitive c'est ln y = ln(x-2 /2) * C .

je suis désolé mais j'ai pas saisi entièrement ce que tu as dit , j'ai qu'à supposer que y ne s'annule pas c'est ça ? ( pas de theoreme de cauchy je l'ai pas vu )

- comment t'obtient cette primitive?
- sinon ya une autre méthode sans utiliser cauchy mais c plus astucieux

[georgess]

nan la primitive c'est bien ln(x-2 /x) .

on m'avait demandé de calculer la dérivée au début de la fonction ln ((x-2)/x) , et la dérivée c'est 2/x(x-2) donc une primitive c'est ln(x-2 /x) + C

[atito]

nan la primitive c'est bien ln(x-2 /x) .

on m'avait demandé de calculer la dérivée au début de la fonction ln ((x-2)/x) , et la dérivée c'est 2/x(x-2) donc une primitive c'est ln(x-2 /x) + C

ok c'est bon.

[georgess]

mais ta petite astuce là ça m'interesse bcp si tu pouvais m'en parler mais avant faut etre clair :

j'ai pas le droit de rédiger l'exercice comme je l'ai fait ? j'ai pas de conditions initiales donc je dois obligatoirement dire que y ne s'annule pas pour l'homogène ? pourtant y = 0 est solution , donc là faudrait que tu m'expliques comment présenter la chose car c'est super important ...

[atito]

y' = y * 2/x(x-2)

1)
deux cas de figures:
- si y s'annule en un point, => y' s'annule aussi en ce point et cauchy te donne alors que y est nulle sur ]2,infinity[ ( a verifier le thm ...). sans cauchy: tu supposes de plus que y n'est pas nulle alors y est strictement monotone sur un intervalle et la tu divises par y sur cette intervalle. Une fois la solution trouvé tu etudies les limites pour trouver un contradiction.
- donc si y ne s'annule pas en un point alors il est soit positive stric ou négative strict et la tu continues ta démo.

finalement tu dis que la solution que tu trouves englobe aussi le cas y =0 donc tu en déduis le tout

2)

[georgess]

merci pour tes remarques

[atito]

de rien. j'espère que ca t'a aidé