Question bêbête ...

[sexapil64]

Bonjour a tous, voilà j'ai un petit souci d'algèbre basique(ce n'est pas mon domaine de predilection) et je ne trouve pas vraiment de réponse qui me convienne sur le net aussi je voudrais avoir votre avis svp.

On dit qu'une matrice symétrique est définie positive si :
- ses valeurs propres sont > 0 OU
- txMx > 0 si M est la matrice en question

Moi mon problème est le suivant : ma matrice n'est pas symétrique, est-ce que je peux immédiatement dire qu'elle n'est donc pas définie positive ? (par contre ses vp sont > 0 :hum: )
Existe t-il d'autres regles pour verifier qu'elle est definie positive ?

[fatal_error]

Bonjour,

Ben s'il faut que la matrice soit symetrique pour quelle soit définie positive, alors si elle est pas symetrique, elle peut pas etre definie positive.

[kazeriahm]

Bonjour,

tu peux considèrer la forme bilinéaire f définie sur R^n*R^n (si ta matrice est de taille n*n) par f(X,Y)=transposée(X)*M*Y

alors on peut définir le caractère "définie positive" de M par :

M est définie positive ssi f l'est

par définition donc M est définie positive ssi (t(x)*M*x = 0 implique x=0) et t(x)*M*x>=0 pour tout x

si M est symètrique, alors M est définie positive ssi ses valeurs propres sont >0 mais ce n'est pas vrai en général (j'ai pas de contre exemple sous la main mais ca doit se trouver facilement)

[sexapil64]

fatal_error, en fait ma phrase était "une matrice symétrique est définie positive si : ... bla bla bla ..." (je me suis mal exprimé, et je viens de le changer du coup) du coup cela ne dit pas ce qu'il en est lorsqu'elle n'est pas symétrique

[xyz1975]

Bonjour,
Les deux définitions sont indépendantes,
A positive si pour tout X : AX supérieur ou égal à zéro.
A définie positive si pour tout X : AX supérieur strictement à zéro.
A symétrique cela veut dire qu'elle égale à sa transposée.