Trouver un determinant nul en changeant de base

[metnems]

Bonjour à tous,

Je suis tombé sur un exercice qui me laisse réfléchir. On avait un endomorphisme de dimension 3 avec sa matrice A sur une base. On nous en a fait chercher une matrice B sur une autre base. La matrice B était sympathique on avait la première colonne qu'avec des 0.

On nous demandait d'en déduire les valeurs x annulants det(A-xId).

Bien comme je n'avais pas trop d'idée et que je me rappelais l'invariance du déterminant par changement de base, j'ai mis que det(B-xId) = det(A-xId) mais çà n'a pas semblé coller par la suite.

En effet en ayant trouvé la valeur x annulant det(B-xId) çà n'annulait pas det(A-xId). :briques: (sauf erreur de calculs en espérant avoir le raisonnement de juste).

[Antho07]

Pourtant on doit trouver pareil.

Ici tu as :avec P une matrice inversible.

[metnems]

Ok tu le démontres ici mais je ne comprends pas comment on justifie le passage :
det (X In) = det (P-1 XIn P)

Car je pense qu'on doit appliquer ceci :

Un endomorphisme a le meme determinant quelque soit sa base. (en cours c'est ce qui est écrit)
Si u est cet endomorphisme alors u-xI est aussi un endomorphisme. Du coup les racines de A-XIn sont les memes que celles de B-XIn.

Et sinon je devais avoir juste dans le raisonnement mais j'ai dû faire une erreur de calcul, çà ne m'annulait pas le det(A-X In) la loose :cry: (c'était pour un concours)

[neibaf]

Bonsoir,

je n'apporte pas forcément de réponse, mais je suis en désaccord avec un peu tout ça.
Certe, le déterminant est un invariant, cependant, cela veut dire que Det(A)=Det(B), c'est tout, à partir du moment ou tu as ton xIn, c'est mort.

De plus, je ne suis pas d'accord avec la "démonstration" de'Antho07, pourquoi donc aurait-on , on ne passe pas d'une matrice à l'autre par un changement de base, bref, a priori, je ne vois rien justifiant ceci.
Si je comprends bien, on te demande de chercher les valeurs propres (si ma méoire est pas trop merdique...) et... je t'avoue que je ne peux plus t'aider.... désolé, tout cela est trop loin pour moi.

Enfin bref, j'espère que ça ne te pourrira pas trop ton concours ! (lequel ? déjà des concours... !?)

[yos]

De plus, je ne suis pas d'accord avec la "démonstration" de'Antho07, pourquoi donc aurait-on

Si! c'est juste puisque .

[neibaf]

ahhhh ?! bon, ben alors... :-)

(ben oui, je suis couillon, la matrice identité, elle peut bien permuter avec les autres !)

[metnems]

merci de votre réponse. C'est bien çà en effet, j'ai fait une erreur de calculs.
Sinon je passais le concours en interne d'Ingénieur TPE.