Suites

par **toto_tom** » 10 Fév 2008, 18:38

Bonjour, j'ai un exercice de suites dans lequel j'ai un peu de mal.

Soit les suites (Un) et (Vn) définies par Uo=1 et Vo=2.
Un+1=racine(UnVn) et Vn+1= (Un+Vn)/2

Démontrer que pour tout entier n Un est plus petit ou égal à Vn.

Alors j'ai fait une récurrence mais au rang n+1 j'ai du mal car je trouve Vn plus grand ou égal à Vn+1 et Vn plus grand ou égal à Un+1, donc je ne peux pas comparer Un+1 et Vn+1.

par **rene38** » 10 Fév 2008, 18:54

Bonjour

Commence par constater le signe de Un et de Vn.

Si a et b sont positifs alors comparer a et b revient à comparer a² et b²

Si x-y >= 0 alors x>=y

par **toto_tom** » 10 Fév 2008, 18:59

Ba je pense que Un et Vn sont positifs vu que racine(UnVn) existe...

Mais avec la récurrence, au début ça marche pas mal, c'est au rang n+1 que je suis bloqué après.

par **rene38** » 10 Fév 2008, 19:09

Calcule

...........................

par **toto_tom** » 10 Fév 2008, 20:08

Ok et je trouve

Un²+Vn²-4UnVn / 4

par **Sa Majesté** » 10 Fév 2008, 20:25

toto_tom a écrit:Ok et je trouve

Un²+Vn²-4UnVn / 4

Tu es sûr ?

par **toto_tom** » 10 Fév 2008, 21:24

(Un²+Vn²+4VnUn)/4 pourquoi vous trouvez quoi vous?

par **rene38** » 11 Fév 2008, 10:20

Tu pourrais donner les détails de ton calcul ?

par **toto_tom** » 11 Fév 2008, 18:39

J'étais un peu fatigué hier...
voilà la bonne réponse :

Vn+1²-Un+1²= (Un²+2UnVn+Vn²)/4 - UnVn
=(Un²+Vn²-2UnVn) /4

Donc maintenant il faut prouver que ce que j'ai trouvé est positif en fait mais Un et Vn sont-ils forcément positifs?

par **rene38** » 11 Fév 2008, 18:51

J'étais un peu fatigué hier...
voilà la bonne réponse :

Vn+1²-Un+1²= (Un²+2UnVn+Vn²)/4 - UnVn
=(Un²+Vn²-2UnVn) /4

Ça ne te rappelle rien ? a²+b²-2ab ...

mais Un et Vn sont-ils forcément positifs?

Ils sont obtenus par additions, division par 2 et racines carrées à partir de U0 et V0 qui sont strictement positifs ...

par **toto_tom** » 11 Fév 2008, 19:07

J'ai compris!

Vn+1²-Un+1²= (Un-Vn)² /4

or (Un-Vn)²>0 donc Vn+1²>Un+1²
racine (Vn+1)²>racine (Un+1)²
Vn+1>Un+1

c'est bon?

par **toto_tom** » 12 Fév 2008, 18:16

Ah non finalement j'ai compris comment faire pour cette question.

Je dois maintenant montrer que vn+1-un+1= 1/2 * (vn-un)²/(racine(Un)+racine(Vn))²

Alors j'ai déjà trouvé que vn+1-un+1= 1/2 * (racine(un)-racine(vn))² je dois ensuite utiliser la valeur conjuguée non?

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