Problème exo Devoir maison...

[tomlette]

L'exo qui me pose problème :

a) Montrer que le polynôme (X^n) - 1 posséde n racines complexes distinctes, à savoir :
Ak= exp(2i"pi"k/n)= cos(2"pi"k/n)+ i sin(2"pi"k/n)
Bon ça, je vous rassure, ça va :)

b) Donner la décomposition de (X^n)-1 en facteurs irréductibles sur C.
Là je pense que c'est: (X^n)-1=(X-1) (X-exp(2i"pi"/n))(X-exp(4i"pi"/n))...(X-exp(2i"pi"(n-1)/n)) mais peut-être que c'est pa ça...je suis pas sûre de moi.

c) Montrer que si n est impair, la décomposition de (X^n)-1 en facteurs irréductibles sur R s'écrit:
(X^n)-1=(X-1)("produit de: (X²-2cos(2k"pi"/n)+1) de k=1 à (n-1)/2)

Et alors la je bloque... Je sais que dans R c'est la partie réelle mais ça m'avance pas, enfin disons que je vois pourquoi on s'arréte à (n-1)/2: en prenant uniquement la partie réelle, on enlève la moitié des possibilités!

Puis ensuite ya la même question avec si n est pair, alors ça s'écrit :
(X-1)(X+1)(le même produit qu'au dessus) mais cette fois-ci uniquement jusqu'à (n-2)/2
et je vois pas non plus d'où ça sort...

Si vous pouviez m'éclairer.. ce serait sympa :)
Merci beaucoup.

[Elvix]

Bonsoir

Ta décomposition est bonne.
Pour trouver ce que tu cherches, il te suffit de regrouper certains termes.
tu remarques, par exemple, que exp(2ikPi(n-1)/n)=exp(2ikPi)*exp(-2ikPi/n)
Ensuite tu fais le produit: (X-exp(2ikPi/n))(X-exp(-2ikPi/n))=X²-2cos(kPi/n)+1

Et tu fais ça pour tous les autres termes... il va te falloir distinguer le cas pair et impair, bien sûr!

[tomlette]

je vois pas, fin si je dis que la décomposition est égale à (X-1)(produit de (X-(exp(2ikpi/n)) alors d'après ce que tu m'as dit c'est égal à :
(X-1)(produit de (X-exp(2ikpi)+exp(-2ikpi(n-1)/n)) ...

[nuage]

Salut,

donc


or car

En regroupant les termes on a bien :

[tomlette]

C'est pas faute d'avoir cherché tout le week-end.. mais là vraiment j'avance pas. Je comprend pas la différence entre le fait que n soit pair ou impair. Je pense que c'est ce qui me bloque..