Exo insolite

[mehack]

Détéerminer tout les nombres entier naturels a et b nn nuls tels que:

a^b=b^a

@+

[kazeriahm]

salut

en passant au logarithme b*ln(a)=a*ln(b) puis ln(a)/a=ln(b)/b et étude de la fonction x-> ln(x)/x

[ffpower]

On peut aussi raisonner arithmétiquement:Si a=b,ca marche.Sinon,on peut supposer par ex aa^(ka)=(ka)^a,donc a^[(k-1)a]=k^a,donc a^(k-1)=k.En particulier,comme a est plus grand que 2,k est plus grand que 2^(k-1),ce qui n est possible que pour k=2(par une petite recurrence).D ou on deduis a=2,b=4