Application linéaire

[fripouille16]

Bonjour j'aurais besoin d'aide pour résoudre mon exercice :

déterminer trois vecteurs e1, e2 et e3 tels que Im f = Vect(e1,e2) et Ker f = Vect(e3)
avec f : R^3 -> R^3
(x,y,z) -> ( , , )

pour e3 j'ai trouvé : (-1,-1,1) mais je n'arrive pas à trouver e1 et e2 pourriez-vous m'aider svp ?

je vous remercie d'avance et vous souhaite une bonne journée

par ailleurs, j'ai un autre problème : Démontrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E avec :
E un C-espace vectoriel et f un endomorphisme de E tel que f²=-Id E.
F={x E, f(x)=ix} et G={x E, f(x)=-ix}

par exemple pour montrer que F est un sev je prends f et g F, C et je montre que : f+g F

ce qui me donne : (f+g)(x)=f(x)+g(x)
=ix+ix
=ix(1+)

donc ce n'est pas un sev. mais alors comment montrer que c'en est un ?

[kazeriahm]

Bonjour.

donc ce n'est pas un sev. mais alors comment montrer que c'en est un ?

Faudrait savoir c'en est-un ou non?

Tu veux montrer que F est un sev de E, donc tu prends deux éléments de F que tu nommes f et g et un scalaire complexe lambda, très bien.

f et g sont des fonctions ?? pourquoi écris tu (f+lambda*g)(x) ?? Attention à bien voir de quoi tu parles !

Une bonne méthode : soient x et y deux éléments de F (tu peux les appeler f et g si tu veux mais ne les confonds pas avec des fonctions !) et lambda un complexe. Tu veux montrer que x+lambda*y est encore dans F.

Que dois tu vérifier pour cela ? Que f(x+lambda*y) = i*(x+lambda*y) non ?

Une autre méthode (que je te conseille d'utiliser une fois que tu auras bien compris la précédente) est de dire que F = Ker(f-i*Id), et c'est donc un sev de E en tant que noyau d'une appli linéaire.