[1er S ] Exercice sur les dérivées.

[bioOo]

Bonjour à tous et à toutes. Voila je vous expose mon exercice où je bloque sur quelques points. Je vous écris l'énoncé :

Dans le plan muni d'un repère, on considère l'hyperbole H d'équation y=1/x et le point A de coordonnées (2;1/2).

On s'intéresse au nombre de points d'intersection de la courbe H avec une droite delta passant par A et non parallèle à l'axe des ordonnées.
1) Vérifier que si delta est parallèle à l'axe des abscisses, alors A est l'unique point d'intersection de H et de delta .

2) Dans la suite de l'exercice, on suppose que delta n'est pas parallèle à l'axe des abscisses.

a) Démontrer que delta a une équation de la forme : y = mx + (1-4m)/2 où m est un réel non nul fixé
b) Résoudre, dans R, l'équation : 1/x = mx + (1-4m)/2

c) En déduire l'ensemble des valeurs non nulles de m pour lesquelles delta coupe la courbe H en deux points distincts.

d) Démontrer que si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors delta est la tangente à H en A.

Voila ce que j'ai fais :

1) Comme delta est parralèle à l'axe des abscisse et que la droite passe par A, alors delta = 1/2. De plus, les points communs sont :
1/x = 1/2, on trouve x=2. Donc le point de coordonnées ( 2; 1/2 ) soit A, est l'unique point d'interséction.


2)
a) Une équation de droite non parallèle à la l'axe des ordonnées s'écrit sous la forme y=mx+p où m et p sont deux nombres réels. De plus, si cette droite n'est pas parallèle à l'axe des abcsisses alors le nombre m est différent de 0 (cela signifie par exemple que dans les calculs on pourra diviser par le nombre m sans problème ).
Bref, cette droite d'équation y=mx+p passe par le point A(2;1/2) donc 1/2 = 2m+p donc p=(1-4m)/2.
On vient de trouver la valeur de p on la substitue dans (**). On trouve :y = mx + (1-4m)/2

b) pour la b j'ai essayé de trouver le coeficient x en résolvant l"équation, mais j'ai pas reussi :triste:

et pour le c et le d je bloque. :hum:

Merci d'avance de votre aide et bonne journée. :++:

[bioOo]

Merci pour ta réponse, pour le b) je trouve :

1/x = mx + (1-4m)/2

1= mx²+ x(1-4m)/2

0 = mx²+ x(1-4m)/2 - 1

Mais pour le reste je vois pas, pourrais-tu me mettre sur la piste?

[bioOo]

J'ai trouvé 1/4 + 4m^2 +2m. Donc c'est positif, il y a donc deux solutions.

m<0
<=> 2m<1
<=> 2m²>m car m<0
<=> 4m²>2m
<=> 4m²+2m > 0 car 4m²=(2m)²>=0

m>0
<=> 2m>1
<=> 2m²>m car m>0
<=> 4m²>2m
<=> 4m²+2m > 0 car 4m²=(2m)²>=0

donc pour tout m 4m²+2m>0, on a donc delta=1/4 + 4m² + 2m >0

Mais après je vois pas comment répondre aux autres questions ( pour le c) et le d) .

[bioOo]

Je vois pas où est ma faute , voila les étapes de calculs :

delta = b²-4ac = ((1-4m)/2)² +4m= (1²-8m+16m²)/4 +4m

=(1²-8m+16m²+16m)/4

=(1²+16m²+8m)/4

=1/4 + 4m² + 2m

EDit:

Donc pour la b):

- x1= (-b-racine(delta))/2a =[-((1-4m)-(1+4m)/2)]/2m
- x2= (-b+racine(delta))/2a=[-((1-4m)+(1+4m)/2)]/2m

- x1= (-b-racine(delta))/2a =[-(1-4m-1-4m)/2)]/2m
- x2= (-b+racine(delta))/2a=[-(1-4m+1+4m/2)]/2m

- x1= (-b-racine(delta))/2a =[-(-8m)/2)]/2m
- x2= (-b+racine(delta))/2a=[-(2/2)]/2m

- x1= (-b-racine(delta))/2a =4m/2m=2
- x2= (-b+racine(delta))/2a=(-1)/(2m)

> l'équation 1/x = mx + (1-4m)/2 a donc pour solution S={2;(-1)/(2m)}

Non?

[bioOo]

b)

-> l'équation 1/x = mx + (1-4m)/2 a donc pour solution S={2;(-1)/(2m)}

c)

> Pour tout m non nul , delta coupe donc la croube H en deux points distinct en x1=2 et x2= -1/2m .( 1/x= mx+ (1-4)/2 revient a resoudre H coupe delta dans la question 2b )

La d) je fais comment pour y répondre?

[bioOo]

Démontrer que si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors delta est la tangente à H en A.

Cela revient a resoudre 1/x = mx + (1-4m)/2 pour delta=<0 dans l'equation 0 = mx²+ x(1-4m)/2 - 1 (Rappel : delta >0 signifie 2 points d'intersection , delta=0 signifie 1 pt d'intersection , delta <0 signifie 0 pt d'intersection )
:
delta= b²-4ac = ((1-4m)/2)² +4m= (1²-8m+16m²)/4 +4m
=(1²-8m+16m²+16m)/4
=(1+8m+16m²)/4
= (1+4m)²/2²
= ((1+4m)/2)²

delta < 0 <=> ((1+4m)/2)² <0 ce qui est exclus car le carré d'un nombre reel ne peut etre negatif ( Pour tout x "appartient" R , x²>=0 ) donc delta <0 n'existe pas

delta = 0 <=> ((1+4m)/2)²=0 <=> m=-1/4 donc delta=0 existe

conclusion : si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors delta>0 est exclus. Mais delta <0 est aussi exclus et delta =0 existe bien sur R . Donc si la droite delta ne coupe pas la courbe H en deux points distincts, alors delta coupe la droite en 1 seul point distinct (definition de la tangente)

[bioOo]

Je t'ai envoyé un MP.

[bioOo]

Bonsoir, sinon pour le 1) et le 2) a c'est correct?