Séries de fourier

[maxboubou]

bonjour a tous!!
pourriez vous m'aider a résoudre cet exercice svp :
comment déterminer les fonctions indéfiniment dérivables,2pi périodiques,telles qu'il exite A>0 vérifiant :
pour tout x dans R,pour tout n dans N, |f(n)(x)| <= A.2^n
avec f(n) la dérivée n ieme de f
merci !

[SimonB]

Puisque f est indéfiniment dérivable, tu peux la développer en série de Fourier. Cherche ensuite à montrer que les coefficients de Fourier de la fonction sont nuls à partir d'un certain rang (pour cela, tu dois avoir une expression des coeffs de Fourier de la dérivée d'une fonction en fonction de ceux de la fonction)... à préciser.

[maxboubou]

merci pour ces indications.
avec l'expression des coefficients de fourier de la dérivée n ieme,j'ai exprimé les coefficients de fourier de f en fonction de l'intégrale de f(k).
ensuite,je majore par l'hypothese,mais je n'aboutit pas,mon inégalité ne m'indique pas que les coeffs de fourier de f sont nuls...

[maxboubou]

en fait,j'obtiens
|Cn(f)|<= A*(2/n)^k,pour n>= 3,en faisant tendre k vers l'infini,on a bien les coeff de fourier qui sont nuls...mais ensuite,comment caractériser f ?

[SimonB]

Une fonction qui a un nombre fini de coefficients de Fourier non nuls, ça s'appelle généralement un polynôme trigonométrique.
Si tu as une idée plus précise du degré maximal dudit polynôme (il suffit de voir à partir de quand ta majoration est suffisante), tu peux essayer de montrer que réciproquement, tout polynôme trigonométrique de ce degré ou d'un degré plus petit convient.