Suites convergentes

Réponses à toutes vos questions après le Bac (Fac, Prépa, etc.)
nadoushka
Membre Naturel
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Suites convergentes

par nadoushka » 24 Oct 2005, 15:30

Salut à tous,
Voilà, j'ai un petit problème. On me demande de démontrer que si une suite numérique (Un) converge alors elle admet une limite unique.
Alors, mon problème se pose au niveau de la démarche à suivre!
Et je sais vraiment pas comment faire!!
En passant, svp pouvez vous m'expliquer comment on raisonne par l'absurde
Je vous remercie de votre aide.



nadoushka
Membre Naturel
Messages: 42
Enregistré le: 09 Oct 2005, 00:51

par nadoushka » 24 Oct 2005, 15:46

SVP quelqu'un peut-il m'aider, j'ai vraiment du mal a le faire!!

quinto
Membre Irrationnel
Messages: 1108
Enregistré le: 01 Mai 2005, 12:00

par quinto » 24 Oct 2005, 15:58

Une suite n'admet pas forcément une seule limite, mais j'imagine que tu es dans R, auquel cas tu possède une distance qui est la valeur absolue.
Imagine que tu aies 2 limites distinctes l1 et l2.
d(l1,l2)=d>0

Pour tout e>0 il existe bla bla bla tel que
d(Un,l1)idem pour
d(Un,l2)
Puisque d=d(l1,l2)<=d(Un,l1)+d(Un,l2)
on a que d=d(l1,l2)<=e+e' c'est à dire que d(l1,l2) est aussi petit que l'on veut.

On peut trouver une contradiction dans le fait que e=e'=d/3 donne d<2d/3

nadoushka
Membre Naturel
Messages: 42
Enregistré le: 09 Oct 2005, 00:51

par nadoushka » 24 Oct 2005, 16:09

je ne comprends pas comment tu dis qu e=e'=d/3 :briques:

Chimerade
Membre Irrationnel
Messages: 1472
Enregistré le: 04 Juil 2005, 14:56

par Chimerade » 24 Oct 2005, 16:21

nadoushka a écrit:Salut à tous,
Voilà, j'ai un petit problème. On me demande de démontrer que si une suite numérique (Un) converge alors elle admet une limite unique.
Alors, mon problème se pose au niveau de la démarche à suivre!
Et je sais vraiment pas comment faire!!
En passant, svp pouvez vous m'expliquer comment on raisonne par l'absurde
Je vous remercie de votre aide.

Une suite converge vers une limite a si quel que soit on peut trouver N tel que on a simultanément :


et cela est impossible !
Donc l'hypothèse selon laquelle la suite a deux limites est absurde.

Un raisonnement par l'absurde consiste lorsque l'on veut démontrer une affirmation A, à supposer qu'elle est fausse et à faire des déductions successives jusqu'à aboutir à une impossibilité, ce qui montre finalement que l'hypothèse de départ selon laquelle "A est fausse", est fausse ! Et donc que A est vraie !
C'est exactement ce que j'ai fait ci-dessus. Je cherche à montrer qu'il n'y a qu'une limite. Je suppose alors qu'il y en a au moins deux distinctes a et b. Et en faisant des déductions successives, j'arrive à une impossibilité. J'ai donc montré que l'assertion "La limite n'est pas unique" est fausse (on dit souvent "absurde", mais cela n'est qu'une question de vocable). Il en résulte que j'ai montré que "la limite si elle existe est nécessairement unique"

danskala
Membre Relatif
Messages: 129
Enregistré le: 06 Mai 2005, 17:48

par danskala » 24 Oct 2005, 16:34

salut nadoushka,

J'apporte ma contribution:

d'abord il faut rappeller ce que signifie qu'une suite numérique converge

On dit qu'une suite notée converge si il existe un réél tel que
tel que qui est bien strictement positif.
converge vers donc tel que
Or
On arrive donc à
, ce qui est absurde !

Donc et ne sont pas distinctes. Elles sont donc égales.

Ainsi, une suite numérique convergente admet une limite unique.

@+
:we:

nadoushka
Membre Naturel
Messages: 42
Enregistré le: 09 Oct 2005, 00:51

par nadoushka » 24 Oct 2005, 23:11

Merci beaucoup les amis vous êtes trop cool. :id:

 

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