nadoushka a écrit:Salut à tous,
Voilà, j'ai un petit problème. On me demande de démontrer que si une suite numérique (Un) converge alors elle admet une limite unique.
Alors, mon problème se pose au niveau de la démarche à suivre!
Et je sais vraiment pas comment faire!!
En passant, svp pouvez vous m'expliquer comment on raisonne par l'absurde
Je vous remercie de votre aide.
Une suite
converge vers une limite a si quel que soit
on peut trouver N tel que
on a simultanément :
et cela est impossible !
Donc l'hypothèse selon laquelle la suite a deux limites est absurde.
Un raisonnement par l'absurde consiste lorsque l'on veut démontrer une affirmation A, à supposer qu'elle est fausse et à faire des déductions successives jusqu'à aboutir à une impossibilité, ce qui montre finalement que l'hypothèse de départ selon laquelle "A est fausse", est fausse ! Et donc que A est vraie !
C'est exactement ce que j'ai fait ci-dessus. Je cherche à montrer qu'il n'y a qu'une limite. Je suppose alors qu'il y en a au moins deux distinctes a et b. Et en faisant des déductions successives, j'arrive à une impossibilité. J'ai donc montré que l'assertion "La limite n'est pas unique" est fausse (on dit souvent "absurde", mais cela n'est qu'une question de vocable). Il en résulte que j'ai montré que "la limite si elle existe est nécessairement unique"