Salut Cestmoikmille,
Dans ton message tu cites
la boite à Baire, et je pense que c'est un début d'explication : il faut comprendre le lemme de Baire comme un formidable outil (c'est d'ailleurs pour cela que certaines personnes l'appellent "lemme" et non "théorème"). C'est donc à travers ses nombreuses applications que tu pourras comprendre ce qu'est un espace de Baire.
Un espace de Baire est un espace dans lequel les choses se passent bien (le lemme de Baire s'applique). L'une des raisons est que les fermés d'intérieur vide se comportent comme des ensembles de très petite taille (comme les parties de mesure nulle dans un espace mesuré), en particulier, même si tu fais une union dénombrable de telles parties, ca ne pourra pas exploser (ca va rester d'intérieur vide). Au contraire, dans un espace qui n'est pas de Baire, un ensemble dénombrable de fermés d'intérieur vide peuvent unir leurs forces et former une partie d'intérieur non vide.
Par exemple, dans un espace de Baire, il est facile de montrer l'existence d'éléments ayant une certaine propriété P qui est la conjonction d'une infinité dénombrable de propriétés P_n faciles a vérifier isolément (P = "P_1 et P_2 et P_3 et ..."). Si l'ensemble des points qui verifient P_i contient un ouvert dense de ton espace, alors l'ensemble des points vérifiant P sera dense (par intersection dénombrable) et en particulier non vide. Tu n'as pas eu besoin de construire un élément particulier vérifiant la propriété P, le lemme de Baire s'en est chargé pour toi.
Si ces choses-là t'intéressent, je te conseille très vivement la lecture du livre
J. C. Oxtoby,
Measure and Category, Springer-Verlag, 1980, second edition.
Ciao,
René Baire