Aide pour exercice trigonométrie.

[Horace]

Dans un cercle trigonométrique de centre O, on représente un pentagone ABCDE. A est le point du pentagone sur l'axe des abscisses.
(OA;OB) = 2pi/5
(OA:OC) = 4pi/5 etc
Et on ajoute que le vecteur V = OA + OB + OC + OD + OE (soit un vecteur nul comme ça saute aux yeux).

Montrer que les vecteurs (OB + OE) et (OC + OD) sont colinéaires au vecteur OA puis que le vecteur V est colinéaire à OA.
Ca j'y suis arrivé.
En déduire que :
OA + OB + OC + OD + OE = vecteur nul
Ca aussi c'est facile.
Et en déduire que :
1 + 2 cos 2pi/5 + 2 cos 4pi/5 = 0
Là je bloque, je ne comprends pas comment ils font pour regrouper les 2pi/5, 4pi/5, 6pi/5 et 8pi/5...
En déduire que cos2pi/5 est solution de l'équation 4x²+2x-1 = 0
Déterminer alors la valeur de cos 2pi/5.
Ces deux dernières questions je n'ai pas compris...

Merci d'avance de votre aide.

[Horace]

Une réponse SVP...

[oscar]

Bonsoir
=>
En partant de 1 + 2cos pi/5 + 2cos4pi/5=0( cos 2a = 2cos²a-1)=>
on a 1 + 2cos pi/5 + 2(2cos²pi/5-1) =0
4cos² pi/5 +2cos pi/5 +1=0
Poser cos pi/5 = X
=> 4X² + 2X -1=0
delta =4 + 16 = 20 = 2²*5
X = ( -2 + 2v5)/8= (-1+v5)/4 = 1/4(v5-1)= cos 2pi/5

[Horace]

Un grand merci pour la réponse mais que fait-on de l'autre solution de l'équation? (-1-v5)/4 ???

[oscar]

Re


Cos pi/5 est >0 car 0