Le problème d'AL-KHWARIZMI.

[manu1992]

Bonjour.

J'aimerai avoir de l'aide pour resoudre cet exercice s'il vous plait, je n'ai jamais fais de cours sur cet exercice! :triste: :triste: :triste:

Voici l'exercice.


[CENTER]Le probléme d'AL-KHWARIZMI[/CENTER]

Enoncé du probléme par Al-Khwarizmi
"Si on dit : une terre triangulaire, dont les deux flancs ont chacun dix coudées et dont la base a douze coudées, contient dans son verre une terre carrée. Combien valent les flancs du carré?"


Enoncé du problème en langage d'aujourdh'ui
Quelle sera la longueur exacte du côté du carré placé à l'intérieur d'un triangle isocèle de côtés 10, 10, 12 tel que les sommets appartiennent aux côtés du triangle?

Figure
ABC est un triangle isocèle en A tel que:

AB=AC=10
BC=12
PQRS est un rectangle inscrit à l'intérieur du triangle ABC

Première résolution (avec Thalés)
On note c la longeur PS lorsque PQRS est un carré.
1. Soit H le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC. Calculer AH.

2.Exprimer SH puis BS en fonction de c.

3.Enoncer la propriété de Thalés dans les triangles ABH et BPS.

4.En déduire une équation que doit vérifier c.

5. Résoudre cette équation puis donner la réponse au problème d'Al-Khwarizmi.

6.Calculer BP puis faire la figure.




Deuxiéme résolution (avec des fonctions)
On note maintenant x la longueur BP.
1. Quelles sont les valeurs que peut prendre x?

2. Exprimer, à l'aide de la propriété de Thalés dans les triangles ABH et BPS, la longeur PS en fonction de x.

2. Exprimer, à l'aide de la propriété de Thalés dans les triangles ABC et APQ, la longeur PQ en fonction de x.

3. On appelle f et g les fonctions définies par f(x)= PS et g(x)= PQ.
A l'aide d'un tablau de valeurs, construire sur un même dessin les représentations graphiques des fonctions f et g.

4. Comment peut-on alors retrouver la réponse au problème d'Al-Khwarizmi?


Prolongement au problème d'Al-Khwarizmi.
On cherche maintenant les dimensions du rectangle PQRS dont l'aire est la plus grande possible.
Avec les notations de la deuxiéme partie, on appelle A(x) l'aire du rectangle PQRS. Exprimer A(x) en fonction de x.
En faisant varier x de 0,5 en 0,5 dresser un tableau de valeurs de la fonction A, puis construire la représentation graphique de cette fonction.
Déterminer alors graphiquement l'aire maximale de PQRS, la valeur de x correspondant, puis calculer les dimensions du rectangle d'aire maximale.


Merci beaucoup. Vous m'aidez énormément. :we:

[Dr Neurone]

Bonjour Manu1992 , c'est une question ou "le discours de la méthode " de Descartes ?
Tu as essayé de commencer ?
Prérequis : Théorèmes de pythagore et Thalès , résolution d'équation du1er degré , étude de fonction ,calcul de la dérivée et recherche d'un maximum ...

[manu1992]

Mais bien sur. C'est juste que pour la question 4 de la première résolution que je bloque. Ainsi que pour la question 3 de la deuxième résoluton.

[Dr Neurone]

Déjà pour la 4 du 1 (tu suis ?) tu déduis 2 fois BS à BC et tu obtiendras le coté du carré SR = c
Pour la 3 du 2 tu traces tes 2 droites f(x) = 4/5 x et g(x) = 6/5 (10 - x)
et leur point de rencontre correspond à BP (solution de f(x)= g(x) of course)