Exercice d'entrainement Pré-contrôle

[Mathilda13]

Bonjour à tous, dans une semaine j'ai un contrôle de math sur les suites. Mon prof nous a donné des problèmes du type à ceux du contrôle mais j'ai un souci avec l'un d'entre eux..

Tout d'abord on nous demande d'étudier les variation de f et g pour en déduire que f est négative et g positive (pour surment mettre en evidence qu'elles sont adjacentes.)

voici les deux fonction :

f(x) = 1/(x+1) - ln(x+1) + lnx

g(x) = 1/(x+1) - ln(x+2) + ln(x+1)


Mon premier problème est donc que je trouve que les deux fonctions sont positive.. :hein:

[Huppasacee]

Tu trouves que f est positive ? calcule f(1) pour voir !

As tu calculé la dérivée de chacune des 2 fonctions

Calcule en même temps leur limite en + infini Y a t il asymptote (s ) ?
Tu en déduis que f est ...... et sa limite en + infini est ..... , donc elle est toujours ...

[Mathilda13]

J'ai trouver une erreur dans ma dérivé, maintenant j'obtient f negative..
Voici mon resultat :

f'(x) = -1/(x+1)² - 1/(x+1) + (1/x) = [-x - x(x+1) + (x+1)²]/[x(x+1)²] = (-x-x²-x+x²+2x+1)/[x(x+1)²] = 1/[x(x+1)²] > 0 pour tout x ]0;+;)[
Donc f est strictement croissante sur ]0;+;)[
Or f a pour limite 0 en +;) (car f(x) = 1/(x+1) + ln[x/(x+1)])
Donc f est strictement négative sur ]0;+;)[


C'est juste ?

[Huppasacee]

Oui, c'est le raisonnement exact

[Mathilda13]

^^ youpi !!!

Plus loin dans le même exercie, j'ai deux suites :

...........k=n
Un = (somme) (1/k) - ln(n)
...........k=1

...........k=n
Vn = (somme) (1/k) - ln(n)
...........k=1
On me demande de calculer la lim (Un - Vn)
x-->+oo

Comment dois-je raisonner ? d'abord calculer Un-Vn ou me fier a une conjecture demander un peu avant ?

[Huppasacee]

Tu as mis la même chose pour Un et Vn !

[Mathilda13]

désole

...........k=n
Un = (somme) (1/k) - ln(n)
...........k=1

...........k=n
Vn = (somme) (1/k) - ln(n+1)
...........k=1

[Mathilda13]

Ou dois-je faire la limite de Un puis cele de Vn pour en deduire lim(Un-Vn) ?

Je suis perdue. :triste:

[Huppasacee]

As tu calculé Un - Vn ? Tu trouveras une expression très simple !! en fonction de ln n et ln (n+1)

[Mathilda13]

J'ai un probleme avec mon calcul parce que ma limite final est sencé etre 0
Je m'embrouille avec tout ces n ^^

J'ai refais plusieur fois mon calcul et je me suis débrouiller pour obtenir des résultats differents..