Equation différentielle

[eau-minérale]

Bonjour,

1°) Démontrer que la fonction f0(x) = 0,4cos(x) + 0,2sin(x) est solution de l'équation différentielle (E) : y' + 2y = cos(x) FAIT

2°) Démontrer que f est solution de (E) équivaut à f-f0 est solution de (E') : y' + 2y = 0 FAIT

3°) Résoudre (E') et en déduire les solutions de l'équation (E). FAIT

4°) Déterminer la solution g de (E) telle que g(pi/12) = 1,2 FAIT

5°) Soit vecteurV et vecteurV' deux vecteur d'affixes respectives z et z'.

a) Montrer que vV . vV' = Re(z*(z' barre)) ; en déduire que vV et vV' sont othogonaux si, et seulement si : z*(z' barre) est un imaginaire pur ; application : vV (3;1) et vV' (-1;3) FAIT

b) Déterminer le module et une valeur approchée à 0,1 près de l'argument alpha (compris entre -pi et pi) du nombre complexe z' = 0,4 + 0,2i . A l'aide de la forme exponentielle de z' et de z = cos(x) + i sin(x) , écrire f0(x) uniquement à l'aide de la fonction cosinus.

c) En déduire une nouvelle expression de g.


Merci

[eau-minérale]

... Je n'ai eu aucune réponse...

[Huppasacee]

v, tu l'as défini ?
merci

[Sa Majesté]

Si tu poses
z = x + iy
z' = x' + iy'
Que vaut Re(z*(z' barre)) ?

[eau-minérale]

Merci pour vos réponses :we:

Je suis bloquée à la question 5b)

Je trouve que le module de z' est égale à racine de 2

[uztop]

salut,
je ne vois pas comment tu trouves racine de 2.
Quelle est la formule pour calculer le module ?
Pour la suite, il faut s'intéresser à Re(z.z'). Il faut écrire zz' sous deux formes différentes: exponentielle et x+iy

[eau-minérale]

racine2 ou racine5 / 5 C'est la même chose par contre je n'arrive pas a trouver l'argument. Cela me fait : z' = (racine5)/5 [ 2/(racine5) + 1/(racine5) ]
Mais apres pour trouver alpha ... :triste:

[uztop]

il suffit d'appliquer les formules pour calculer le module et l'argument:
|z| = sqrt((0.4)²+(0.2)²)
arg(z) = arctan(0.2/0.4)

[eau-minérale]

Je sais pas ce que signifie : sqrt et arctan :hein:
Je n'ai pas encore vu ça ...
La je dois m'aider de la calculatrice

[uztop]

désolé, sqrt c'est racine carrée (square root) et arctan c'est la réciproque de tangente (que tu notes peut être tan-1)

[eau-minérale]

Mais pour l'argument il me faut quelque chose en radian ... avec pi ... nan ?

[uztop]

oui, ben justement, les valeurs de arctan sont en relation avec Pi (ex: arctan(1)=Pi/4 )

[eau-minérale]

je trouve 0,5 (0,4636...)

[uztop]

oui je pense que c'est bon (j'ai plus de piles dans ma calculatrice, j'ai vérifié avec la calculatrice de google)

[eau-minérale]

et pour la suite je dois faire comment ?

[uztop]

la valeur que tu as trouvé est bien en radians. Ça ne veut pas dire qu'on peut l'exprimer facilement comme une fraction de pi

[eau-minérale]

d'accord merci
et pour écrire f0(x) je dois faire comment ?

[uztop]

On a z = cos(x) + i sin(x) et z'=0.4+0.2i

Donc Re(zz'barre) = Re((cos(x) + i sin(x))*(0.4-0.2i))
= Re(0.4cosx+0.2sin(x)+i(...))
= 0.4cosx+0.2sin(x)

Mais on peut aussi dire que
z=exp(ix) et z' = sqrt(0.2)*exp(arctan(1/2))

Donc Re(zz'barre) = Re(sqrt(0.2)*exp(i(x-arctan(1/2))
= sqrt(0.2) cos(x-arctan(1/2))

Tu égalises les deux résultats et tu as f0(x)

(D'habitude je ne donne pas les réponses aux exos, mais là je vais aller me coucher et je ne peux donc pas continuer à t'aider)

[eau-minérale]

Oki
merci beaucoup de votre aide !