Dérivé

[stuxx]

Bonsoir

Soit f une fonction définie et dérivable sur R.
1) Si f est impaire alors f'est paire





2) Si f' est paire alors f est impaire





pour moi les deux propositions sont vrai mais je ne sais pas comment le prouver

[MathMoiCa]

Hello,


Regarde la définition d'une fonction paire et d'une fonction impaire :

f(-x) = f(x)

f(-x) = -f(x)


Et regarde ce que donne la dérivée de f(-x) (dérivée d'une fonction composée) :
(uov(x))' = v'(x)*u'ov(x)

Ici, u = f, v(x) = -x

Pour moi la 2 est fausse =)



M.

[stuxx]

est ce que la proposition 2) Si f' est paire alors f est impaire

peut s écrire comme: Si f est paire alors f' est imapire??

[MathMoiCa]

Voui, ça s'appelle la contraposée ^^



M.

[stuxx]

donc la 2°) est vrai non?

[Hyp]

Voui, ça s'appelle la contraposée ^^

Oula, grave erreur !!

Si f n'est pas paire alors elle est impaire ?

x dans IR ,x-> x+1 n'est pas paire, elle est donc impaire ?

[smaths]

Non la 2°) est fausse.
Exemple : Soit la fonction définie sur par on a qui est dérivable de dérivé définie sur par .
est paire et pourtant n'est ni impaire ni paire

[annick]

Bonsoir,
Pour moi les deux propositions sont vraies :

Si f(x) paire, alors f(-x)=f(x) donc en dérivant -f'(-x)=f'(x), soit f'(-x)=-f'(x) et la dérivée est impaire.
Exemple : f(x)= x^4-3x²+1, paire, alors f'(x)=4x^3-6x, impaire.

Si f(x) impaire, alors f(-x)=-f(x), donc en dérivant -f'(-x)=-f'(x), soit f(-x)=f'(x) et la dérivée est paire.
Exemple : f(x)=x^3-5x, impaire, alors f'(x)=3x²-5, paire.

De plus ceci est logique car la dérivation redescend tous les exposants d'un degré, donc s'ils étaient tous pairs, ils deviennent tous impairs et réciproquement

[Hyp]

Bonsoir,

Si f(x) impaire, alors f(-x)=-f(x), donc en dérivant -f'(-x)=-f'(x), soit f(-x)=f'(x) et la dérivée est paire.

Exemple : f(x)=x^3-5x, impaire, alors f'(x)=3x²-5, paire.

réciproquement

Elle est vraie, mais ce n'est pas ce qu'on demande.

Il s'agissait de la 2ème implication :
2) Si f' est paire alors f est impaire

... qui bien entendu est fausse, comme a démontré smaths.

[annick]

ok, désolée, j'ai lu un peu vite....

[Hyp]

L'erreur est humaine :3

[annick]

merci de tant de clémence :ptdr: