Radical d'un idéal
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Dyo
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par Dyo » 21 Jan 2008, 18:55
Bonsoir,
Je cherche une méthode (si ca existe) pour calculer le radical d'un idéal dans
par exemple. Et si y'en a d'autres dans d'autres anneaux.
Voici les définitions:
Si
est un idéal de
(Anneau commutatif unitaire), alors le radical de
est :
tel que
Exemples:
Dans
- si
alors
- si
alors
Merci pour vos infos.
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yos
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par yos » 21 Jan 2008, 19:44
Ca doit être
où p(n) est le produit des facteurs premiers de n.
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abcd22
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par abcd22 » 21 Jan 2008, 19:45
Bonsoir,
Dans Z c'est facile : un idéal (non nul, différent de A) est de la forme aZ avec
où les
sont des nombres premiers distincts, le radical de aZ est
(démonstration par double inclusion).
On a un résultat identique pour tous les anneaux principaux, et il y a aussi un résultat général disant que le radical d'un idéal propre I est l'intersection des idéaux premiers de A contenant I (qui n'est pas toujours aussi facile à calculer que dans Z).
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leon1789
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par leon1789 » 21 Jan 2008, 20:21
Dyo a écrit:Je cherche une méthode (si ca existe) pour calculer le radical d'un idéal dans
par exemple. Et si y'en a d'autres dans d'autres anneaux.
Dans Z, il n'y a pas de méthode efficace (tout est relatif) pour calculer la partie sans facteur carré d'un entier.
(dans un anneau principal, partie sans facteur carré de x = radical de x)
Dans Q[X], c'est facile car on peut dériver (chose impossible dans Z).
Mais c'est compliqué de manière générale.
Edit :
Par contre, dans des anneaux variés, on peut efficacement tester si un élément appartient au radical.
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Dyo
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par Dyo » 22 Jan 2008, 08:35
Ok merci beaucoup pour vos réponses.
Sinon pour montrer que
est un idéal, je bloque pour
montrer que la loi est interne :
pourquoi si
alors
?
Et euh le radical a un rôle particulier ou ... ?
Merci encore.
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yos
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par yos » 22 Jan 2008, 12:53
. Elève (f+g) à un exposant suffisant.
Pour l'utilité regarde le théorème des zéros de Hilbert.
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Dyo
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par Dyo » 22 Jan 2008, 16:08
Merci je vais regarder :)
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leon1789
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par leon1789 » 23 Jan 2008, 13:23
yos a écrit:. Elève (f+g) à un exposant suffisant.
Pour l'utilité regarde le théorème des zéros de Hilbert.
Effectivement, je pense que la notion de radical en algèbre provient de la géométrie : sur un corps, dessiner les solutions de f(x,y)=0 ou de f(x,y)^7=0, c'est la même chose. Les géomètres ne travaillent en fait qu'avec les radicaux, mais cela ne se voit pas quand on parle des lieux des zéros (et non des équations). En revanche, on voit apparaitre explicitement des radicaux quand on algébrise la géométrie...
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leon1789
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par leon1789 » 23 Jan 2008, 13:27
exercice facile : montrer que les idéaux
et
ont même racine. En déduire que si a et b sont comaximaux, alors a+b et a.b le sont aussi.
(ça me rappelle une discussion avec yos :we: )
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