Series de FOurier

[fenecman]

Bonsoir everybody !!
Je suis encore tout frais sur les séries de Fouriers, et mon prof m'a dit qu'on pouvait resoudre cet exercice en les utilisant mais je coince....
On note E le C_ev des fonctions de R vers C et 2Pi périodiques.On pose
D:E --> E
f ---> f''
Montrer que E est somme directe du noyau et de l'image de D .
Merci d'avance

[Babe]

Bonsoir everybody !!
Je suis encore tout frais sur les séries de Fouriers, et mon prof m'a dit qu'on pouvait resoudre cet exercice en les utilisant mais je coince....
On note E le C_ev des fonctions de R vers C et 2Pi périodiques.On pose
D:E --> E
f ---> f''
Montrer que E est somme directe du noyau et de l'image de D .
Merci d'avance

utilise le lemme de Leccia-Warusfeld et la conclusion est immédiate

[klevia]

salut, si , comme moi, tu n'as jamais entendu parler du lemme du Leccia-Warusfeld, je te propose une ébauche de solution:
1) recherche de ker D:
f''=0
=> f'=k appartenant à C
a) si k different de 0 alors f(x)=kx qui est 2pi periodique ssi k=0
b) si k = 0 alors f(x)=k qui convient
d'ou ker f = fonction constante

2) recherche de Im D
d'après le théorème de dirichlet , Pour tous f appartenant à E,
f(x)=a0+ avec

montrons que Im D = {g E tq g(x)= avec }

soit g(x)= avec
posons f(x)=
alors f''(x)=g(x) d'où {g E tq g(x)= avec } est inclus dans Im D.
l'autre inclusion est évidente.

On voit clairement E=Ker f union Im f et que( im f) inter ( ker f) =
d'ou le resultat

je crois que c'est bon

[fenecman]

Merci Klevia , je crois que j'ai compris ... J'avais des soucis sur la caracterisation de Im D ....
Merci!