Bloque sur une implication

[pouik]

Bonsoir,
Je cherche depuis quelques heures maintenant à montrer l'implication suivante, mais sans réussite !!!!

Soient et deux espaces vectoriels normés. Soit une application linéaire de vers . Montrer l'implication :
(1) : est continue au point
(2) : il existe un réel positif tel que

[klevia]

Salut, est-on en dimension fini ?

[SimonB]

Montre d'abord que, en supposant (1), u est alors bornée sur la boule unité (en écrivant la définition de la continuité en 0 et en fixant . Déduis-en le résultat (indice : écrit si x est un élément quelconque de E non nul...).

(pour klevia : non, en dimension finie, toute application linéaire est continue...)

[tize]

Bonjour, très simple :
* u continue en 0 => il existe d>0 tq ||x||<=d => ||u(x)||<1
* u(x/||x||)=1/d.u(d.x/||x||) donc pour tout x : ||u(x)||<=......

[edit] : grillé par tout le monde (ou presque) désolé... : :we:

[pouik]

[quote="tize"]
* u(x/||x||)=1/d.u(d.x/||x||) donc pour tout x : ||u(x)||= 1 donc d.x/||x|| >= x, mais c'est tout je ne vois rein d'autre...

[tize]

Bon, je te le refais en plus clair :
continue en donc il existe tel que
et tu remarqueras que donc donc donc

[pouik]

donc par linéarité de la norme (non ??) :

[tize]

Oui...enfin la norme n'est pas linéaire mais il est vrai que l'on a