Matrice,vecteurs propres

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Bonjour,

je ne peux plus faire l'impasse sur les espaces vectoriels, je fais donc appele à vous, ayant un gros soucis avec les vecteurs propres.

Soit M la matrice
2 -3 -1
1 -2 -1
-2 6 3
M admet une unique valeur propre lambda=1.
---------

Pourquoi, on peut dire que M n'est pas diagonalisable?
a priori, il y a une histoire de multiplicité, mais sur wikipedia ca dit:
une matrice est diagonalisable si la dimension de chaque sous espace est egale a la multiplicité de chaque valeur propre.
Mais j'arrive pas a faire le lien.
J'ai cherché (M-lambdaI)X=0 avec X=(x,y,z), et je trouve x-3y-z=0.

Montrer que le sous espace propre associé, E1, est de dimension 2.
Soit e1,e2 une base de E1

Quelle est la forme de la matrice T de l'endomorphisme de f de R^3 canoniquement associé a cette matrice dans une base de R^3 de la forme e1,e2,e3?


Merci pour l'attention portée à ce post :we:

[Joker62]

Hello ! :)

Quand tu calcules ta matrice M-I3
Tu te retrouves avec une matrice de rang 1 (très facile à voir)

Tu en déduis facilement la dimension de l'espace propre associé

Pour la 2), y'est encore trop tôt, j'ai encore la tête dans les fesses :D

[klevia]

salut, tout ce que je vais dire est a prendre au conditionnel mais je dirais ceci.
Il n'y a qu'une seule valeur propre 1 d'ou si M était diagonalisable alors dans une bonne base sa matrice serait l'identité. Or quelquesoit la base, la matrice de l'identité reste l'identité et M serait l'identité ce qui n'est pas le cas. d'ou M n'est pas diagonalisable.

[klevia]

Pour la suite: je ne verifie pas tes calculs mais si tu trouves que les sous espaces propres associé à 1 est l'ensemble desvecteurs (x,y,z) tel que x-3y-z=0 alors ceci est un plan vectorielle ( de dim 2 ) . une base de ce plan est:
e1:(1,0,1)
e2:(1,1,-2)

a priori dans (e1,e2,e3) la mtrice T sera de la forme:
1 0 a
0 1 b
0 0 c
qui est une matrice triangulaire ( T comme triangulaire :ptdr: )

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Merci pour vos réponses!

Cependant, je reviens à la charge avec de nouvelles questions :marteau:

lambda est de multiplicité trois, mais le sous espace propre associé a la valeur propre lambda est de dimension 2, donc M est non diagonalisable.
Je n'arrive cependant pas à faire le lien entre le rang de M-I et la dimension de M-I...j'ai envie de dire 1, mais après on trouve 2...

Concernant la matrice triangulaire, comment choisir a,b,c de telle sorte que
M=P^-1TP avec P matrice de passage.
On me dit de choisir e3=(0,0,1). J'ai donc ma matrice P. On me dit que la dernière colonne de T est alors transposée(f(e3)) (pourquoi?).
Pour calculer f(e3) j'écris (à tout hasard) f(e3)=M*e3 qui me donne (-1,-1,3) ce qui est faux car on devrait trouver (-1,-1,1).

[klevia]

Rebonjour,
concernant le rang de M-I, c'est 2. Tu as envie de dire 1 mais non c'est 2 ... y'a rien à comprendre.
Je rappelle que par définition rang f = dim ( im f )
Concernant l'histoire de la trandposée, je n'ai aucune réponse.
Pour la dernière question, l faut faire attention à la base avec laquelle tu travaille.
si tu calcule M*e3 tu cherche l'image de e3(0,0,1) exprimer dans la base canonique, or toi tu veux exprimer f(e3) dans la base (e1,e2,e3)
tu as donc T*e3=P^-1*M*P e3

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Ok, merci a vous deux, je vais voir ca :id: