Suites (TS)

par **sun-wars** » 20 Jan 2008, 16:56

bonjours! je bloque un peu sur un exercice sur les suites... j'aurais besoins d'un peu d'aide ^^

on a Un=1+2+3+...+n
et Vn=1²+2²+3²+...+n²

et Wn=Vn/Un
et à partir de là il faut trouver l'expression de la suite Wn.
J'ai tout rentré dans le tableur et j'ai conjecturé que Wn est une suite arithmétique telle que Wn+1= 2/3 + Wn et W1=1/3
Donc que Wn=1/3+2/3n

mais ça reste une conjecture et il me reste à le prouver! et c'est là que ça se corse... j'imagine qu'il faut faire une récurence mais j'arrive vraiment pas là :hum:
vous avez quelques pistes? ^^

merci bon dimanche!

par **jeje56** » 20 Jan 2008, 17:09

1+2+...+n=n*(n+1)/2

par **sun-wars** » 20 Jan 2008, 17:13

ok mrc
et Vn=1²+2²+3²+...+n²=n²*(n+1)/2?

par **jeje56** » 20 Jan 2008, 17:17

Malheureusement non...
1²+2²+...+n²=(2n+1)(n+1)n/6

par **sun-wars** » 20 Jan 2008, 17:23

ok, et comment tu le sais que 1²+2²+...+n²=(2n+1)(n+1)n/6?

moi j'ai peut etre qqch:
pr l'initialisation on a bien Wn=1/3+2/3n et on veut prouver que Wn+1=2/3+Wn

donc Wn + 2/3 = 1/3 +2/3n +2/3 et Wn=1/3+2/3n
donc Wn+1= 2/3 +Wn

donc l'hypothèse de récurrence est vérifiée, ca marche ça?

par **sun-wars** » 20 Jan 2008, 17:28

en fait je crois que mon raisonnement précédent est hors sujet puisque je ne le fais pas en fonction de Un et Vn...

j'ai utilisé tes 2 formules qui donnent Un et Vn et ça par contre ça marche merci!
mais je ne sais pas comment tu trouve Vn?

par **jeje56** » 20 Jan 2008, 17:36

La somme des n premier carrés est connue, la démonstration peut se faire par récurrence mais suppose que l'on connaisse déjà la formule... Il existe d'autres démonstrations, jette un coup d'oeil ici

par **sun-wars** » 20 Jan 2008, 17:49

okay merci!
alors je vais faire comme ça ^^
allé bonne soirée!
++

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