Voilà mon soucis : dans l'exercice suivant, j'ai réussi à faire le 1), mais le 2 j'ai de gros soucis...
Si-dessous, l'énoncé :
ABCD est un quadrilatère convexe quelconque, I, J, K et L sont les milieux respectifs de [AB], [BC], [CD] et [DA].
1. Quelle est la nature du quadrilatère IJKL ? [déjà fait, voir mon raisonnement dessous)
2. A quelle condition IJKL est-il un losange ? Un rectangle ?[question sur laquelle j'ai une idée mais je n'arrive pas à l'expliquer]
RAISONNEMENT :
1. D'après la relation de Chasles, j'ai : (toutes les lettres sont des vecteurs, par paire)
LI = LA + AI
Or L est le milieu de DA et I est le milieu de AB, alors :
LI = 1/2 DA + 1/2 AB
LI = 1/2 (DA + DB)
LI = 1/2 DB (d'après la relation de Chasles)
De même avec KJ. On obtient donc KJ = 1/2 DB
Or KJ = 1/2 DB et LI = 1/2 DB donc (KJ)//(DB) et (LI)//(DB) étant donné que des vecteurs égaux sont parallèles (cf. définition des vecteurs).
Si deux droites sont parallèles à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles. [ (LI)//(DB) et (KJ)//(DB) donc (LI)//(KJ) ]
De plus, deux vecteurs égaux ont la même longueur : [KJ]=[LI].
Un quadrilatère ayant deux côtés opposés de même longue et parallèles est un parallélogramme.
LIJK est donc un parallélogramme.
(fin de raisonnement)
2. Voilà, j'ai trouvé que si les diagonales du quadrilatère ABCD sont de même longueur, (et ne se coupent ni en angle droit ni en leur milieu) alors la figure LIKJ est un losange.
Et que si les diagonales de ABCD se coupent en angle droit, on obtiendra alors un quadrillatère IJKL de nature rectangle.
Je pense qu'il faut que je passe par le résultat du 1. soit LI = KJ = 1/2 DB
Je bloque là dessus, autrement dit, j'ai les idées mais je n'arrive pas à démontrer (notre professeur veut qu'on démontre...) pourquoi si les diagonales se coupent disont en angle droit on a un rectangle... (de même pour le losange!)
par