Encadrement de ln(1+x)

[neo789]

Bonsoir à tous!

j'ai un Td à faire je suis pas sur de ce que j'ai trouvé:

Enoncé: En étudiant sur l'intervalle ]0;+l'infini[ la fonction a qui x associe lnx+1-x, démontrez que pour tout réel x > 0 , lnx inférieur ou égale a x-1

donc en démontrant que la courbe de la fonction logarthme reste au dessous de cette tangente (y=x-1) on peu affirmer sans plus de calcul que lnx inférieur ou égale a x-1, mais comment démontrer que la courbe est en dessous de n'importe laquelle de ses tangentes?

[Monsieur23]

Elle est concave, d'où le résultat.
Mais si tu sais pas le prouver, faut trouver aut' chose.

Il faut que tu étudies la fonction : dérivée, variations, limites.
Comme ça tu prouveras qu'elle est toujours négative.

[Babe]

etudie g(x)=f(x)-y
si g(x)>0 tangente en dessous de la courbe
si g(x)<0 tangente en dessus de la courbe

[neo789]

mais en faite je vois pas comment cela (etudier les variations, limite etc nous dira que la courbe est au dessous de la tangante...

[neo789]

a oki MERCI je vais essayer

[Monsieur23]

f est croissante entre -infini et 1, et décroissante ensuite.

f(1)=0
Donc, pour tout x réel, f(x) < 0

Donc Ln(x) < x - 1

C'est tout.

[Memento]

Comme cela a été dit par monsieur23 et babe:

pour comparer f(x)=ln(x) à y=(x-1)

etudie les variations de g(x)=f(x)-(x-1)
avec f(x)=ln(x)

g(x)=lnx+1-x

g'(x)=1/x-1

extremum pour x=1

g'(x)>0 pour 0g'(x)<0 pour x>1 donc g décroissante

x=1 est un maximum

courbe Concave comme dit précédemment

donc g(x)=0 pour x=1

g(x)<0 Vx e R+ autre que 1

donc lnx est en dessous de (x-1) sur R+

@+