Similitudes

[Binouze_Flip]

Bonsoir à tous,

Mon exercice est le suivant :

On considère deux cercles C de centre O et C' de centre O', A un point de C, A' un point de C'.
Soit s l'application affine définie sur le plan vérifiant la propriété :
(P) Pour tout point N de C distinct de A, s(N) = N' tel que N' C' et

1) Montrer que s est une similitude
2 ) En déduire le lieu du milieu [NN'] lorsque N C

1) Par théorème, il existe une unique similitude directe f telle que f(O) = O' et f(A) = A'.
f vérifie donc avec et .

Soit
f satisfait f(N) = N' avec

De plus,


Puisque f(O) = O' et f(N) = N',
Donc

Par conséquent, f vérifie la propriété (P). On en déduit que f = s.

Conclusion : s est une similitude directe

Dites moi ce que vous pensez de la manière dont c'est rédigé. Merci.

[Binouze_Flip]

:chef: Up Up

[yos]

Bonjour.
C'est pas bon. Tu montres que f vérifie les mêmes propriétés que s et tu en déduis f=s. Il ny a pas de raison à cela.
Tu sais que s est affine et une application affine est déterminée par l'image de trois points non alignés (c'est dans ton cours?).
Du coup regarde s(E), s(F), s(G) où E,F,G sont trois points du cercle C.

[Binouze_Flip]

Pourquoi besoin d'autant d'arguments? Une similitude est une application affine (je sais que l'ensemble des similitudes du plan est un sous-groupe du groupe des applications affines bijectives du plan )

Pour aboutir à f = s, en fait il suffit que f et s coïncident en deux points distincts je pense :).

[yos]

Pour aboutir à f = s, en fait il suffit que f et s coïncident en deux points distincts je pense .

Trois non alignés. Ce que j'ai dit plus haut.

[Binouze_Flip]

Ouip 3 points non alignés et euh ça c'est direct car une similitude transforme un cercle en un cercle ^^

[yos]

En résumé : tu prends E,F,G distincts sur C-{A}, E',F',G' leurs images par s. La similitude f que tu as définie transforme C en C' et donc E en un point E'' vérifiant
1) ,
2) (OA,OE)=(O'A',O'E'').
Cela montre que E''=E' et tu trouves de même f(F)=F', f(G)=G'.
s et f sont deux appl. affines coïncidant en trois points non alignés donc f=s.