Statistiques - lois d'échantillonnage

[jamemojo]

Bonjour à tous!

J'espère qu'il y a de bons statisticien(ne)s parmis vous.

Je bute sur un exercice portant sur les lois d'échantillonnage. Je trouve un résultant abérrant et je ne sais pas du tout pourquoi.

Voici l'énoncé exact :
"Les résultats d'une élection dans une population comportant 50000 individus ont donné 45% des voix en faveur d'un candidat. Déterminez rétrospectivement la probabilité qu'un échantillon aléatoire de taille n ait donné la majorité à ce candidat avec un échantillon de taille 200"

Et ma (mauvaise) solution :
La v.a. X donnant le nombre de candidats ayant voté pour A suit une loi binomiale B(50000;0.5).
Grâce au théorème central limite, je considère que X suit une loi normale de paramètre N(50000*0.45, racine(50000*0.45*0.55)) = N(22500;111.24)

Donc la moyenne de l'échantillon suit une loi normale M = N(22500; 111.24/racine(200)) = N(22500;7.86).

et je cherche P(M>25000)
= 1 - P(M<=25000)
= 1 - P( (M-22500)/7.86 <= (25000-22500)/7.86 )
= 1 - P ( U <= 318) avec U la loi normale centrée réduite

et 318 dépasse largement les valeurs comprises dans les tables (probabilité quasi nulle).
ce qui donne une probabilité très proche de 1 au final, ce qui me paraît étonnant.

J'ai un DS très bientôt et j'aimerai comprendre mon erreur avant.

Merci d'avance.

[BQss]

salut,


tu as p=0.45 la probabilité pour un tirage Xo de voté pour A.
Retrospectivement l'echantllion suit une loi binomiale (0.45,200).
On cherche a claculer P(Somme>=100) et la on utilise la convergence asymptotique de la binomiale vers la normale car ce serait trop long de calculer ca avec la binomiale.

la somme suit donc approximativement une loi normale (200*0.45 , 200*0.45*0.55)=(m,v^2).

Tu calcules P(vN+m>100)=P(N>(100-m)/v)=1-F((100-m)/v) avec F la fonction de repartition de la loi normale.

[BQss]

Ca donne si tu veux controler 1-F(0.2), ce qui donne grace à la table:

environ 42%.

donc tu vois que l'erreur est de 3% et le resultat est cohérent avec les 45% du plus gros echantillon

[jamemojo]

merci beaucoup pour votre aide, j'étais très mal parti.

Je ne comprends pas pourquoi ca donne 1 - F(0.2)
je trouve 1 - F(1.42)

[BQss]

merci beaucoup pour votre aide, j'étais très mal parti.

Je ne comprends pas pourquoi ca donne 1 - F(0.2)
je trouve 1 - F(1.42)

[100-(200*45) ]/(200*0.45*0.55)=10/49.5=0.2

[jamemojo]

je crois qu'il manque la racine :
[100-(200*45) ]/racine(200*0.45*0.55)=10/49.5=0.2

et sinon quel était le problème avec ma démarche?

[BQss]

bah le probleme c'est que certaines de tes etapes n'ont aucune logique mathématique:

"la loi de ma moyenne" ca na pas de sens par exemple

tu approximes l'echantillon final au depart alors que l'echantllon final doit etre utilisé brute, c'est l'echantillon conditionnel des 200 qui doit etre approché).

Ensuite tu t'es embrouillé dans la loi.

Donc le probleme c'est que certaines de tes etapes ne sont pas logiques, il faut que tu t'attaches a comprendre la raison mathématique de chaque passage comme je l'ai indiqué lors de mon explication:

echantillon finale loi binomiale, tirage de 50000 bernoulli--->fourni une proba empirique de bernoulli--->echantillon de 200 est un tirage de bernoulli pour la meme proba-->calcul de P(S>100) sous la loi binomiale sous jacente--> probleme de longueur de calcul, approximation continue normale(np,np(1-p)) reposant sur la convergence de la binomiale vers la normale)-->calcul finale(sans faute de calcul)-->utilisation de la table.

[BQss]

je crois qu'il manque la racine :

Il manque la racine oui. Ca change le resultat en effet.

[jamemojo]

la moyenne associée à chaque échantillon possible constitue bien une v.a., non?

et j'approxime au départ pour pouvoir utiliser le théorème suivant :

Quel que soit la loi de X de moyenne m et d'ecart-type s,
pour n assez grand, on peut considérer que la moyenne d'un échantillon de taille n suit la loi normale N(m,s/racine(n))

légitime quand n>=10

[BQss]

la moyenne associée à chaque échantillon possible constitue bien une v.a., non?

non, une moyenne n'est pas aléatoire c'est l'esperance mathématique, ce qui est alétoire c la variable aléatoire sous jacente.

ce qui est aléatoire par contre c'est l'estimateur empirique de moyenne oui:
, la moyenne empirique a donc bien une loi au rang N, mais la moyenne non, c'est une donnée théorique.

[BQss]

enfin bref, j'ai compris ce que tu voulais dire, juste que la "loi de la moyenne", c'est un peu maladroit mais bon.

Combien avais tu trouvé la premiere fois?

[jamemojo]

je trouvais une probabillité très proche de 1 que l'échantillon donne la majorité à ce candidat perdant :doh:

[BQss]

bah maintenant le calcul donne:

P(S>100)=1-F(10/7)=1-0.92=0.08.


Soit sur un echantillon de 200 personnes, une probabilité d'environ 10% de voir gagner le candidat donné perdant a 45%.

Ca marche donc. Et cette probabilité converge vers 0, quand l'echantillon grandi vu que la moyenne empirique converge vers 45% presque surement.

[jamemojo]

ok merci pour votre aide, c'est très sympa :++:

[BQss]

De rien j'aurai du voir que 43% marchait pas tout a l'heure, ma justification n'avait pas de sens, il fallait s'attendre a une probabilité proche de 0 et non proche de la distribution, d'autant plus proche de 0 que N est grand.

a+

PS: et a un moment j'ai ecrit la convergence asymptotique , je descends en bas me rafraichir j'en ai besoin :zen: .

[jamemojo]

d'accord :we:
bonne soirée, merci encore