Suite, récurrence

[Blitzkrieg]

Suites

On considère les suites (Un) n appartient à N et (Vn) n appartient à N définies par :
Un = ( 2^n - 4n + 3) / 2 et Vn = (2^n + 4n - 3 ) / 2

1. a.Démontrer que la suite de terme général Wn = Un + Vn ( respectivement Tn = Un - Vn) est une suite géométrique ( respectivement arithmétique ).

b.. En dédure les sommes :
u0 + u1 + u2 .. + Un et v0 + v1 + v2 .. Vn.

2. Montrer par récurrence que pour tout n>= 1.
1² + 2² + 3² + ..... n² = ( n ( n + 1 )(2n + 1) / 6

Est ce que vous pouvez m'aider SVP ! j'arrive pas à faire l'exercice !

[Blitzkrieg]

slt est ce que je peux avoir de l'aide svp ! merci d'avance

[Blitzkrieg]

j'ai trouvé :
1. a. Wn = 2^n donc c'est 1 suite géométrique
Tn = -4n + 3 donc c'est 1 suite arithmétique

mais le b. j'arrive pas à faire ! je sais pourtant la somme géométrique et arithmétique mais je ne trouve pas le résultat !

2. Initialisation :
pour n = 1 on a (1(1+1) (2 *1 +1)) / 6
= 1
donc P(n) est vraie pour n = 1

Hérédité : supposons que 1² + 2² ..... k² = ( k (k +1 ) (2k +1 )/ 6
démontrons que 1² + 2² ..... k² + (k+1)² = (( k+1)(k+1 +1)( 2(k+1) +1)) / 6

( k (k +1 ) (2k +1 )/ 6 + (k+1)
= (( k²+k ) (2k+ 1) + 6k +6) / 6 donc P (k+1) est vraie
Conclusion : d'après le principe de récurrence, la propriété est vraie pour tout n >= 1
** est ce que mes résultats sont bons SVP?

[becirj]

On peut calculer la somme des termes de (Wn) et la somme des termes de (Tn) avec les formules connues sur les suites géométriques et arithmétiques.
Wn+Tn=2 Un et Wn-Tn=2 Vn
Par conséquent somme des Un= 1/2 (somme des Wn+somme des Tn)
Même méthode pour la somme des termes de (Vn).

2.Les hypothèses sot bien posées et la conclusion bien énoncée mais il faut revoir le calcul
1^2+2^2+...+k^2+(k+1)^2=k(k+1)(2k+1)/6+(k+1)^2
On met (k+1) en facteur : (k+1)(2k^2+k+6k+6)/6=(k+1)(2k^2+7k+6)/6
et la factorisation du trinôme 2k^2+7k+6 conduit à la conclusion cherchée