Théorie de la mesure, Intégration

[p4bl0]

Bonjour,
Je débute le cours sur la theorie de la mesure et l'intégration au sens de Riemann et je ne saisis pas bien la différence de notion entre une fontion "mesurable" et "intégrable" . Par exemple les théorèmes de Fubini et Fubini-Tonelli diffèrent dans les hypothèses : f positive et mesurable pour FT et f intégrable pour F.
Quelle est alors la différence ? Comment vérifie-t-on ces critères en pratique ?

Merci !!

[alben]

Bonjour,
Très schématiquement, supposons f positive : si f n'es pas mesurable, l'intégrale n'existe pas, on ne peut même pas envisager de la calculer.
Si f est mesurable, on peut la calculer et dire qu'elle est intégrable signifie que sa valeur est finie.
Donc pour être intégrable, f doit être mesurable et en outre son intégrale doit être finie.
Pour comprendre la nécessité, dans la théorie de la mesure que l'intégrale soit finie, il faut se souvenir que l'on décompose une fonction quelconque en la différence de deux fonctions positives. Si chacune d'elle donne une intégrale infinie, on est coïncé

[p4bl0]

D'accord, cela parait plus clair.
Pour en revenir à mon exemple, comment s'y prend-on? Comme d'habitude la définition de f mesurable avec l'image réciproque est je pense inutilisable.
D'apres ce que vous me dites, j'ai l'impression que la différence entre Fubuni-Tonelli et Fubini est que FT permet une égalité entre "deux infinis" tandis que F non.Qu'en est-il ?

Merci pour votre contribution

[alben]

Toutes les fonctions continues, continues par morceaux, sont Lebesgue-mesurables. De manière générale il est difficile de construire une fonction qui ne soit pas mesurable (dans des espaces habituels). Dans les cas tordus, il faut revenir à la definition.
FT porte sur des fonctions mesurables positives. On peut donc accepter l'infini, quitte à dire finalement que la fonction f et/ou f(x,.) ou .. ne sont pas intégrables.
F porte sur des fonctions quelconques, il est donc nécessaire qu'elles soient intégrables pour ne pas avoir infini-infini.

[p4bl0]

Super, merci pour votre aide, bonne journée.