Pb de bille qui a raison le prof de math ou le béotien ?

[nulenmathmaisjycrois]

Bonjour
voici un petit problème qui oppose béotien et profs de math !
À votre avis qui a raison

problème 01:
voilà : 2 sacs A et B contiennent chacun 5 billes noires et 5 billes blanches
donc dans le sac A (y a 5 billes noires et 5 billes blanches), idem dans le sac B

on retire du sac A, au hasard, une première bille
puis on fait de même du sac B

donc on a tiré une bille du sac A puis on a tiré une bille du sac B...

combien y -t-il de chance pour qu'au moins 1 des 2 billes sorties soit noires ?

Problème 02:
dans un sac C, il y a 10 billes, 5 noires 5 blanches
on retire au hasard une première bille (sans la remettre)
puis on en tire une seconde

combien y -t-il de chance pour qu'au moins 1 des 2 billes sorties soit noires ?

Réponse au problème 01:
3 chances sur 4
car soit on tire 1 blanche 1 noire
soit on tire 1 blanche 1 blanche
soit on tire 1 noire 1 noire
soit on tire 1 noire 1 blanche

1/le prof de math peut-il prouver que ce raisonnement est faut ?
2/Est-ce que la solution diffère entre le problème 01 et 02 ?
3/ Si dans le problème 02 on remet dans le sac la bille qu'on a tiré
est-ce qu'on peut donner la même réponse qu'au pb 01 (cad: 3 chances sur 4 donc 75%)

[Patastronch]

Merci de pas poster tes devoirs maison dans la section enigme.

[nulenmathmaisjycrois]

t'y es pas du tout, la solution à ce problème oppose plusieurs prof de math suivant l'interprétation précise de l'énoncé, certains résonnent en logique pure comme la solution au problème 01 d'autres appliquent une formule de probabilité (puisqu'on parle de chance), pour résumer même si l'énoncé parle de chance la question est de savoir si il ne faut pas se limiter à interpréter les combinaisons de sortie possible et non pas la probabilité qu'une boule noir à de chance de sortir...

pas de devoir à ce sujet, juste une prise de tête...pour le plaisir...

[Imod]

la solution à ce problème oppose plusieurs prof de math suivant l'interprétation précise de l'énoncé, certains résonnent en logique pure ...

Quelle horreur !!! A quand l'explosion ?

Imod

[berlap]

Bonjour
voici un petit problème qui oppose béotien et profs de math !
À votre avis qui a raison

problème 01:
voilà : 2 sacs A et B contiennent chacun 5 billes noires et 5 billes blanches
donc dans le sac A (y a 5 billes noires et 5 billes blanches), idem dans le sac B

on retire du sac A, au hasard, une première bille
puis on fait de même du sac B

donc on a tiré une bille du sac A puis on a tiré une bille du sac B...

combien y -t-il de chance pour qu'au moins 1 des 2 billes sorties soit noires ?

Problème 02:
dans un sac C, il y a 10 billes, 5 noires 5 blanches
on retire au hasard une première bille (sans la remettre)
puis on en tire une seconde

combien y -t-il de chance pour qu'au moins 1 des 2 billes sorties soit noires ?

Réponse au problème 01:
3 chances sur 4
car soit on tire 1 blanche 1 noire
soit on tire 1 blanche 1 blanche
soit on tire 1 noire 1 noire
soit on tire 1 noire 1 blanche

1/le prof de math peut-il prouver que ce raisonnement est faut ?
2/Est-ce que la solution diffère entre le problème 01 et 02 ?
3/ Si dans le problème 02 on remet dans le sac la bille qu'on a tiré
est-ce qu'on peut donner la même réponse qu'au pb 01 (cad: 3 chances sur 4 donc 75%)

A la question 1, la réponse 3/4 est triviale.
A la question 2, un "arbre probabilisé" conduit facilement à une probabilité de 7/9, et bien évidemment s'il ya "remise" on est ramené à la question 1, donc la réponse à la question 3 est aussi 3/4.

[nulenmathmaisjycrois]

merci pour la réponse, "triviale" veut dire non mathématique ?
cad différent ou "faux" enfin si ça marche cela serait juste un hasard ?

sinon pour les 77% c'est exactement ce que pense une partie des gens interrogés à ce sujet...

peut-on dire donc que pour le problème 01 on arrive à un résultat correcte par un raisonnement faux et si oui quel est le bon raisonnement à adopter ?

[nuage]

Salut,
pour le problème 01 ton raisonnement est bon. Il faut seulement préciser que les boules sont équiprobables dans chaque sac, et que le tirage dans le sac B est indépendant du tirage dans le sac A. Ce qui semble implicite dans l'énoncé.

Remarque : trivial veut dire complètement évident.

[berlap]

Trivial signifie banal, évident. En effet obtenir une Noire du 1er sac a 5 chances sur 10 de se produire i. e. la probabilité de 1/2 ET obtenir une B du 2ème sac 5/10 aussi donc 1/2. L'événement "obtenir une Noire du 1er sac et une Blanche du 2ème" a donc une probabilité de (1/2)x(1/2)= 1/4. Obtenir "au moins une boule noire" est réalisé SOIT par 1N et 1B, Soit par 1B et 1N, soit par 1N et 1N. Ces 3 trois événements ayant la même proba. 1/4.En tout 1/4+1/4+1/4=3/4.(Ce qui me paraît assez naturel.)
Question 2: SANS remise. Au 1er tirage, proba(obtenir 1N)=5/10=1/2. Au 2ème tirage, proba(obtenir 1B)=5/9.(5 B favorables sur 9 boules puiqu'on n'a pas remis la N tirée en 1er). Donc pour l'événement "1N et 1B" proba de (1/2)x(5/9)=5/18. De même pour "1B et 1N", proba. 5/18. Quant à "1N et 1N" on obtient (1/2)x(4/9)=4/18. En tout 5/18+5/18+4/18=14/18=7/9.
Question 3:AVEC remise. Un raisonnement assez simple ramène à 3/4.

[nulenmathmaisjycrois]

merci je comprend mieux...
en fait à cette solution
"3 chances sur 4
car soit on tire 1 blanche 1 noire
soit on tire 1 blanche 1 blanche
soit on tire 1 noire 1 noire
soit on tire 1 noire 1 blanche"

certains profs opposent le fait que la solution 3/4 ne marche uniquement par ce qu'il y a autant de boules noire et blanches et que donc cet un raisonnement par le résultat et donc faux mathématiquement car:
si on prend un sac de 10 billes 2 noires, et 8 blanches et qu'entre les 2 tirages on remet la boule du premier tirage dans le sac on obtient par 75% de chance d'avoir au moins une bille noire alors que pourtant au niveau des combinaisons
on a bien que 4 possibilités :
soit on tire 1 blanche 1 noire
soit on tire 1 blanche 1 blanche
soit on tire 1 noire 1 noire
soit on tire 1 noire 1 blanche"

d'où le reproche de dire certes ça marche avec le problème 01
mais le raisonnement est faux car avec l'exemple des 2 billes noires et 8 billes blanches on peut pas dire qu'il y a 75% de chance de sortir au moins une bille noire...même si les 4 combinaisons (1b + 1n, ou 1n + 1 b ou 2 blanch ou 2 noir) marchent encore

[nuage]

merci je comprend mieux...
en fait à cette solution
"3 chances sur 4
car soit on tire 1 blanche 1 noire
soit on tire 1 blanche 1 blanche
soit on tire 1 noire 1 noire
soit on tire 1 noire 1 blanche"

Il est clair que si on change la composition des urnes le raisonnement est faux.
En particulier tel que je l'ai laissé dans la citation ci-dessus.
Dans le problème 01 l'énoncé induit l'équiprobabilité, mais il est clair que le fait d'avoir 4 cas possibles n'implique pas qu'ils soient équiprobables.

Au passage le fait qu'il y ai autant de boules noires que de blanches n'est pas suffisant :
Si il y a 10 banches dans l'urne A et 10 noires dans l'urne B on est certain (proba=1) d'avoir au moins une noire. Ce qui est important est que la proba d'avoir une blanche ou une noire est 1/2 à chaque tirage.