A et C sont deux points distincts et B le milieu de segment [AC].
Trois coureurs X, Y et Z se déplacent sur le segment [AC].
Au départ, X est en A, Y a le témoin et se trouve en B alors que Z est en C.
X et Y partent à la rencontre l'un de l'autre.
Quand ils se croisent, Y s'immobilise et passe le témoin à X qui continue de se déplacer en direction de Z qui part à sa rencontre.
Lorsque X et Z se croisents, X s'immobilise et passe le témoin à Z qui continue de se déplacer en direction de Y, lequel vient à sa rencontre. Et ainsi de suite...
On suppose que les trois coureurs se déplacent à la même vitesse qui est constante.
On se propose d'étudier se les trois coureurs vont finir par se regrouper en un point et de trouver ce point.
On se place dans le repère (A, AC) de la droite (AC).
Pour tout entier n > (ou égale à) 1 , on désigne par Xn l'abscisse du n-ième point de rencontre.
1°)
(a) Calculer X1 , X2, X3 et X4.
Je les ai calculer en faisant ("position initiale de X" + "position initiale de l'autre coureur") / 2
(b) Démontrer que, pour tout entier n > (ou égale à) 2:
Xn+1 = (Xn + Xn-1) / 2
(tout est en indice)
J'ai remarque en faisant le calcul des X1,2,3,4 que Xn = (Xn-1 + Xn-2) / 2
Je ne sais pas si cela démontre vraiment....
2°)
(a) Pour n > (ou égale à) , on pose Yn = Xn+1 - Xn
Démontrer que la suite (Yn) est une suite géométrique dont on précisera la raison.
(b) Démontrer que la suite (Zn) définie, pour tout n > (ou égale à) 1 , par:
Zn = Xn+1 + (1/2)*Xn , est constante.
3°)
(a) En remarquant que Zn - Yn = (3/2)*Xn , démontrer que , pour tout entier n > (ou égale à) 1 :
Xn = (1/2) - (-1/2)^n+1
(b) démontrer que le suite (Xn) est convergente et préciser sa limite.
(c) conclure.
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Je précise que j'ai beaucoup réfléchie à cet exercice donc je ne débarque pas ici en postant cet exo sans l'avoir bien étudié mais je le trouve dur dur.
Merci de m'avoir lus et encore plus merci pour l'aide.
