[Terminale S] Géométrie et probabilités.

[xbcool]

Bonjour tout le monde, voilà il ne me manque plus qu'un seul exercice pour mon DM de mathématiques et je n'y arrive pas, je sollicite donc votre aide et vous remercie par avance.

Voici l'énoncé :

Question préliminaire : montrer que (n 2) = n(n-1)/2

vous savez c'est la grand parenthèse avec n en haut et 2 en bas, c'est les combinaisons

Les 2 parties sont indépendantes.

Une urne contient 15 boules identiques, indiscernables au toucher, de couleur noire, blanche ou rouge. On sait de plus qu'il y'a au moins 2 boules de chaque couleur. On tire au hasard simultanément 2 boules de l'urne et on note leur couleur.
Soit l'évènement G : "les deux boules sont de la même couleur"

Partie A.
On suppose que l'urne contient 3 boules noires et 7 blanches (donc 6 rouges). Calculer la probabilité de l'évenement G.

Bon je suppose qu'il faut faire déjà : card Oméga = 15C2 = 105

après on a soit 2 boules rouges SOIT 2 boules noires SOIT 2 boules blanches donc :

p(G) = 6C2/105 + 3C2/105 + 7C2/105 = (15+21+3)/105 = 39/105 = 13/35

est ce que cela est juste ?

Partie B
On note n, b et r le nombre de boules respectivement noires, blanches et rouges. On note g(n,b,r) la probabilité de l'événement G en fonction de n, b et r.

1) Démontrer que g(n,b,r) = 1/210*(n(n-1) + b(b-1) + r(r-1))
là je pense qu'il faut reprendre la question préliminaire non?

g(n,b,r) = (n(n-1)/2)/105 + (b(b-1)/2)/105 + (r(r-1)/2)/105 = ((n(n-1) + b(b-1) + r(r-1))/2) * (1/105) = (1/210)*(n(n-1) + b(b-1) + r(r-1))

est-ce correct?

2) Le but de cette question est de déterminer n, b et r pour que la probabilité de g(n,b,r) soit minimale. L'espace est muni d'un repère orthonormal (O, i, j, k). Soient les points N(15;0;0) B(0;15;0) R(0;0;15) et M(n;b;r).

a) Justifier qu'une équation cartésienne de (NBR) est x + y + z - 15 = 0
il faut voir si les 3 points vérifient l'équation donnée non?

b) En déduire que M est un point du plan (NBR).
aucune idée :(

c) Démontrer que g(n,b,r) = (1/210)*(OM² - 15)

idem :(

d) Soit H le projeté orthogonal du point O sur le plan (NBR). Déterminez les coordonnées de H.
gné ?

e)En déduire les valeurs de n,b et r afin que la probabilité g(n,b,r) soit minimale. Justifier que cette probabilité est égale à 2/7.

Merci d'avance pour vos réponses et désolé je ne sais pas écrire en LaTeX :(

[xbcool]

S'il vous plait, une petite aide :)