Réduction d'endomorphisme

[eleca59]

Bonjour

Comme j'imagine tous les prépas de France, j'ai un DM pour les vacances et là, je bloque depuis pas mal de temps sur une question ...

La question est la suivante :

On considère la matrice A définie par :

Montrer que A est semblable à et donner une matrice P a coefficients entiers et de déterminant 1 telle que M=P^(-1).A.P

On a par ailleurs u l'endomorphisme associé à M

J'ai répondu à la premire partie en disant qu'elles ont les meilleurs propres (et que comme elles en ont deux et appartiennent à M2, elles étaient diagonalisable, donc semblable a la même matrice diagonale et donc semblable entre elles).

Mais pour la deuxième partie, je ne sais pas quoi faire, j'ai essayé de diagonaliser M pour avoir M=P.D.P^(-1) puis d'écrire A sous la forme A=Q.D.Q^(-1) et de "mixer" les deux. Mais je n'ai rien eu de concluant...

Si quelqu'un peut me débloquer, je suis preneur =)

Merci

[alben]

Mais pour la deuxième partie, je ne sais pas quoi faire, j'ai essayé de diagonaliser M pour avoir M=P.D.P^(-1) puis d'écrire A sous la forme A=Q.D.Q^(-1) et de "mixer" les deux. Mais je n'ai rien eu de concluant...

Bonsoir,
Si tu as fait tout ça, c'est fini :

[eleca59]

Bonsoir,
Si tu as fait tout ça, c'est fini :

Bonsoir,

J'avais aussi l'impression mais les résultats sont pas très probants, donc je vais détaillé mes résultats.

• Pour ma matrice M :
  
  J'ai comme valeurs propres : i et -i
  
  Donc, deux vecteurs propres : et
  
  Soit finalement, ma matrice
  
  
• Pour ma matrice A :
  
  Les mêmes valeurs propres (elles sont semblables)
  Donc, les deux vecteurs propres : et
  
  Soit finalement, ma matrice
  
  
  Mais avec ces résultats, ca ne marche pas ...
  Merci d'avoir répondu
  
  
  
  

[alben]

Effectivement, tes deux matrices n'ont pas les mêmes valeurs propres ou tu t'est trompé dans l'écriture de M qui n'a qu'une seule valeur propre : -1