Exercice, DEMONSTRATION

[Minineutron]

Bonsoir,

1/Demontrer aue tout nombre reel a : cos5a=16cos^5a-20cos^3a+5cosa.
2/ Verifier aue tout nombre reel x: 16x^5-20x^3+5x+1= (x+1)(4x`-2x-1)^2.
3/ On pose t= cospi/5. Demontrer aue le nombre reel t est solution de lequation 4x`-2x-1=0 puis donner la valeur de t.
4/ En deduire sinpi/5 et cos2pi/5.

Jespere avoir de laide pour cet exercice, il me parait assez dure...

Voila.

Bonne soiree.

[oscar]

Bonjour

cos 5a = 16 cos ^5 a -2 cos³ a + 5cos a

Je reviens

[oscar]

cos 5a = 16 cos ^5 a -20 cos ³ a + 5cosa

1) cos (4a+a)=
cos 4a cos a - sin 4a sina=
(2cos²2a-1) cos a - 2sin2a cos 2a sina=
[2(2cos²a-1)² -1]cosa -4sina cos a cos 2a sina=
[2(4cos ^4 a -4 cos ²a +1) -1]cos a - 4 sin²a cos a (2cos²a-1=
(8 cos ^4 a -8cos ²a +1) cosa -4 (1-cos² a)(2cos³a -cosa)=
8 cos ^5 a -8 cos ³ a +cosa -4(2cos³a-2cos ^5 a-cosa+cos^3 a)=
16 cos ^5 a -20 cos ³ a + 5cos a

[oscar]

16x^5- 2x³ +5x= (x+1)(16x^4 -16x³ -4X²+4
Par identifiation
=(X+1) (4X² -2X -1)²
Racines de 4x²-2X-1=> X =(1+V5)/4 et (1-v5)/4

Ce qui correspons à cos pi/5 et sin pi/5 ??

A suivre

[Hardtoexplain91]

Bonsoir; comment fait on pour laa 2 et la 3

[Hardtoexplain91]

dsl si je minscruste; mais jai un exercice du mm type! alors bon..

[Minineutron]

euh ouais bon, taurais pu te creer un nouveau topic, bref..


Oui, pouvez vous me dire comment on fait la 2/ et la 3/

[oscar]

Bonsoir

Je reprehds

4x² -2x +1 =0(1-)
delta= 20
x =( 2+ou 2v5)/8 = ( 1+ ou-v5)/4

Quand on pose x =t = cos pi/5 dans (1),on a

cos pi/5 = (1 +v5)/4
sin ²pi/5 = 1-cos ²pi/5 = 1- (1+ v5)²/16= 16 -1-2v5-5)/16
= (10 -2v5)/16
Donc sin pi/5 = 1/4 V (10-5v5)

[Minineutron]

3/ On pose t= cospi/5. Demontrer aue le nombre reel t est solution de lequation 4x`-2x-1=0 puis donner la valeur de t.

Euh, je nai pas compris comment vous avez demontrer que cospi/5

Comment avez vous trouver la valeur de t ?
4/ En deduire sinpi/5 et cos2pi/5.

[oscar]

4 t² -2t - 1=0
delta = 20 = 4*5
t=( 2 + 2V5)/8 = (1+v5)/4 = cos pi/5

on a poser t= cos pi/5

Tu as la suite

[Minineutron]

est ce normal si a la fin pour la 1/ vous aboutissez a
8 cos ^5 a -20 cos ³ a + 5cos a

et pas a 16 cos ^5 a -20 cos ³ a + 5cos a

[oscar]

Bonjour

En fait c' est une erreur de frappe..
Je viens de regarder il y a bien 1 6 cos ^5 a

[yoram]

Bonjour à tous
deja je tenais à feliciter oscar qui m'a bien bien dans cet exercice
Mais j'ai quelques petite question:

Dans la 2) pour demontrer que pour tout nombre reel x: 16x^5-20x^3+5x+1= (x+1)(4x²-2x-1)² suffit-il simplement de developper le (x+1)(4x²-2x-1)² ou faut-il se référer à la premiere question?
car en developpant je trouve le bon resultat.

Dans la 3), je n'ai pas bien compris ta demarche oscar pour demontrer que t= cos(pi/5) est solution de 4x²-2x-1=0 et également pour t= (1+v5)/4

Merci d'avance

et a bientot sur maths-forum !!!!!

[oscar]

Bonsoir Je viens de revoir le sujet
Je ne trouve rien de plus à ajouter
On a poser t = cos pi/5 puis on a remplacé dans l' équation 4x² -2x -1 =0

[oscar]

Rermarque IMPORTANTE
On a 16 cos^5 (a) - 2 cos^3 (a) -5cos a = cos 5a(1)
SI a = pi/5 , cos 5a = cos pi = -1
On peut remplacer dans (1) et on obtient
16 cos ^5 (pi/5) -2 cos ² (pi/5) - 5 cos (pi/5) = -1
<=> 16 cos^5( pi/5) -2 cos ³ (pi/5) -5 cos (pi/5) +1 =0
ON PEUT DEJA POSER t = cos pi/5 (ou x)
On aboutit par la suite à ( x+1)(4x² -2x -1)² iou(t+1)(4t²-2t-1)²=0


+> la valeur >0 de t représente donc bien la valeur de cos pi/5
= 1/4 ( 1+v5)
Le sin de pi/5 est 1/4 V (10-2v5) ( sinpi/5 = v(1-cos ²pi/5)
Ce calcul a éte effectué

[yoram]

Je te remercie enormément oscar pour tes explications claires et précises qui m'ont aidées à conclure mon exercice

Encore merci!
et a bientot j'espère

Yoram