NOMBRE D'or !

[Permo]

Voici un exo qui me pose problèmes depuis des jours ,si vous pouviez m'aider ce serait très cool


1°) Un rectangle ABCD est dir " rectangle d'or " lorsqu'ayant tracé le carré intérieur AEFD , on a : AB/BC =BC/EB

http://img155.imageshack.us/img155/6219/mat1yd8.jpg

Les rapports "longueur sur largeur " sont donc les mêmes dans les deux rectangles .Ce rapport s'appelle le nombre d'or (noté phi) : il est supérieur à 1 et son inverse s'appelle la section dorée .

Déterminer la valeur de phi ,son inverse et 1/(phi-1)

AB=x et BC=1

AB/BC=BC/EB

x/1=1/(x-1)
x²-x-1 = 0

delta = 1-4(1)(-1) = 5

x1 = (1-V5) / 2

x2 = (1+V5) /2

on prend la racine positive : x2 = (1+V5) / 2

1/phi = 2/(1+V5)

1/(phi-1) = -2/(1+V5)

(phi-1 = 1+V5/2-1 = (1-2+V5)/2 = (-1+V5)/2 et l'inverse : -2/(1+V5) )


phi = 1,618... > 1 donc EBCF est un rectangle d'or

2°) Vérifier que sur la figure ci-contre où AEFD est un carré , on a AB/AE = phi

http://img182.imageshack.us/img182/1016/mat2gf9.jpg

soit I le milieu de AE et on trace un cercle de centre I et de rayon IF qui va couper AE en B
alors
IF²=IE²+EF²=1/4+1=5/4
IF=rac5/2
AB=AI+IB=1/2+rac5/2=phi

ou on peut mesurer non ?

3°)Carré dans un demi cercle

http://img170.imageshack.us/img170/2474/mat3lz5.jpg


Sur la figure ci-dessus ABCD est un carré de côté 2 et O est le milieu du segment [AB].

3a) a)A l'aide du théorème de Thalès démontrer que :
NS =2ON
En déduire que MNSR est un carré


Il faut appliquer le théorème de Thalès dans les triangles OSN et ODA.
Et remplacer AD par 2OA.
En effet O=m[AB] donc OA=1/2AB et AB=AD puisque ABCD est un carré => OA=1/2AD ou encore AD=2OA
ON/OA=NS/2OA

ON/NS=1/2
NS=2ON .
Par construction MNSR est un rectangle.

Par construction OSR est isocèle en 0, car S et R sur le cercle de centre O et de rayon OA
=> OS=OR=OA
Donc la médiatrice de [SR] passe par le point 0. Puisque N et M sont les projetés orthogonaux de S et R sur (AB), 0 est donc le milieu de [MN] => ON=OM et NM=2ON
Donc NM=NS
=> MNSR est un carré

b)Calculer NS et AM

NS² =OA²-(1/2NS)²
NS² = 1²- NS²/4

5/4NS² = 1

NS² = 4/5

NS= 2/V5

AM = AO + OM =AO + ON = AO + NS/2

AM = 1+ 1V5
AM = (V5+1)/V5

c'est bon ??

c)Montrer que le point N partage le segment [AM] selon le nombre d'or ,ie : AM/NM = NM/AN = phi

AM/NM= V5+1/V5 * V5/2 = (V5+1)/2 = phi

mais : NM/AN je trouve : 2/V5 * (V5 /V5-1) = 2/(V5-1) = (1/phi-1) ??

et pour d)Vérifier que les rectangles GRMA et SHBN sont des rectangles d'or

GRMA rectangle d'or si AM/AG = AG/AN (AG=NS)
SHBN rectangle d'or si BN/BH = BH/BM (BN = OB+ON=OA+ON ; BH=NS ; BM=AB-AM)

AM/AG = (V5+1)/V5 * V5/2 =V5+1/2 = phi

AG/AN = 2/V5 * V5-1/V5 = 2(V5-1) /5 = 2phi ??

SHBN rectangle d'or si BN/BH = BH/BM où (BN = OB+ON=OA+ON ; BH=NS ; BM=AB-AM)

je trouve pour SHBN :

BN/BH = AM/NS = V5+1/V5 * V5/2 = phi

BH/BM = V5/2 * (2-(V5+1)/V5)
=V5/2* ((2V5-V5+1)/V5)

je suis bloqué ... Comment faire ?

Merci bcp et bonne année !!

[MarvelBoy]

j'ai tout lu et mes résultats coïncident avec les tiens :
néanmoins pour la fin : (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) mais ;) (b/a)*(c/d)

BM = AB-AM = 2-(1+1/;)(5)) = 2-1-1/;)(5) = 1-1/;)(5) = (;)(5)-1)/;)(5)

(attention à ta parenthèse et au - devant)

BH/BM
= NS/BM
= (2/;)(5)) / (;)(5)/(;)(5)-1))
= 2 / (;)(5)-1)
= (1/;)-1)

mais : ;) = (1/;)-1)

démonstration :

(1/;)-1)
= 2 / (;)(5)-1)
= 2(1+;)(5)) / ((1+;)(5))*(;)(5)-1))
= 2(1+;)(5)) / (5-1)
= 2(1+;)(5)) / 4
= (1+;)(5)) / 2
= ;)

d'où ton interrogation question 3°)c)

[MarvelBoy]

j'ai tout lu et mes résultats coïncident avec les tiens :
néanmoins pour la fin : (a/b)/(c/d) = (a/b)*(d/c) mais ;) (b/a)*(c/d)

BM = AB-AM = 2-(1+1/;)(5)) = 2-1-1/;)(5) = 1-1/;)(5) = (;)(5)-1)/;)(5)

(attention à ta parenthèse et au - devant)

BH/BM
= NS/BM
= (2/;)(5)) / (;)(5)/(;)(5)-1))
= 2 / (;)(5)-1)
= 1/(;)-1)

mais : ;) = 1/(;)-1)

démonstration :

1/(;)-1)
= 2 / (;)(5)-1)
= 2(1+;)(5)) / ((1+;)(5))*(;)(5)-1))
= 2(1+;)(5)) / (5-1)
= 2(1+;)(5)) / 4
= (1+;)(5)) / 2
= ;)

d'où ton interrogation question 3°)c)