Petite question sur géo et barycentres

[nice74]

Bonjour! je n'arrive pas à débuter mon DM et donc je n'arrive pas à faire les autres questions . Voilà je mets seulement les 2 premières questions .

intro: ABC est un triangle . On note BC= a , CA= b , AB=c . L'objectif est de trouver des réels affectés aux points A, B et C tels que le centre I du cercle inscrit, l'horthocentre H ou le centre O du cercle circonscrit soient des barycentres des sommets .

A ) Centre du cercle inscrit :

A' est le pied de la bissectrice de BAC .A' est donc équidistant des côtés de l'angle. On note d cette distance , et h la longueur issue de A .

1.a) Exprimez les aires des triangles AA'B et AA'C de deux façon différentes.
b) déduisez-en que A'B/A'C = c/b puis que A' est le barycentre de ( B,b)et (C,c )

merci d'avance...
je n'arrive ps à exprimer les aires pr faire question 2

[rene38]

Bonjour

Aire d'un triangle = base × hauteur / 2
où base est le longueur d'un côté et hauteur celle de la hauter relative à ce côté.
Par exemple pour le triangle AA'B, tu peux choisir comme base AB ou A'B.

Attention, ton énoncé est incomplet : "et h la longueur de la hauteur issue de A"

[nice74]

en faite j'avais fait comme ça et voilà les résultats que j'ai obtenus :

Aire AA'B= A'B*h / 2 = a-A'C/2

Aire AA'C = (a*h/2)-(A'B*h/2)= h(a-A'B)/2= A'C*h/2

donc à partir de cela je suis censée en déduire que A'B/A'C = c/b
mais je ne vois vraiment pas comment trouver cela par rapport à mes résultats ...
merci d'avance ...

[rene38]

Aire AA'B= A'B*h / 2 = a-A'C/2

Aire AA'C = (a*h/2)-(A'B*h/2)= h(a-A'B)/2= A'C*h/2

D'accord pour ce qui est en caractères gras.
Maintenant, pour chaque triangle, choisis une autre base (et donc une autre hauteur).
Tu obtiendras une expression des aires en fonction de b, c et d.

[nice74]

ah d'accord merci pour cette question.
après pr en déduire que A' est le barycentre j'utilise le produit en croix ms je trouve A' barycentre de :
b*A'B - c*A'C
je trouve dc A' barycentre de (B,b) et (C,-c). or je suis censée trouver + c

je ne pense ps avoir fait un erreur de définition ...

merci d'avance pr votre aide.

[rene38]

Pourquoi ne te sers-tu pas de ça ?

A' est le pied de la bissectrice de BAC .A' est donc équidistant des côtés de l'angle. On note d cette distance

[nice74]

merci beaucoup , votre aide ma été très utile . Cependant j'aimerais AUSSI AVOIR UNE AIDE pour la question suivante qui va entrainer la dernière question.
voila la question : B' et C' sont les pieds des bissectrices de ABC et de ACB .Exprimez B' comme barycentre de C,A et C' comme barycentre de A,B.

normalement je suis sencée trouver :B' barycentre de {(A,a); (C,c)}
C' barycentre de {(A,a); (B,b)}. Or je n'arrive pas a trouver une méthode pour aboutir à ses résultats ... Faut-il réutiliser les aires ? car moi en utilisant les aires jarrive au résultat suivant :
b/c=A'B+B'C/AC'+C'B

c A'B(vecteur)+c B'C (vecteur)=b A'C(vecteur)+b C'B(vecteur)

Ce résultat ne me donne rien . j'ai besion d'aide merci d'avance

[rene38]

après pr en déduire que A' est le barycentre j'utilise le produit en croix ms je trouve A' barycentre de : b*A'B - c*A'C
je trouve dc A' barycentre de (B,b) et (C,-c). or je suis censée trouver + c

Oui tu trouves b*A'B = c*A'C mais ce sont des distances (positives donc)
Si tu tiens compte du fait que sont de sens contraires, tu obtiens bien soit

ce qui signifie que A' est le barycentre de (B,b) et (C,c).

Quant à la dernière question, il ne faut pas recommencer tout !
On réinvestit en disant que les résultats concernant A' sont valables pour B' et pour C' et effectuant des permutations circulaires :

A' est le barycentre de (B,b) et (C,c)
permutations : A' -> B' ; B -> C -> A ; b -> c -> a
et on obtient :
B' est le barycentre de (C,c) et (A,a)

Même chose pour C'