Topologie : point intérieur

[plastic]

Bonjour,

dans mon cours, j'ai la définition suivante :

Un point a est intérieur à l'ensemble ssi il est le centre d'un intervalle ouvert entièrement contenu dans A.

NB: les points intérieurs à A appartiennent donc à A.

Exemple : 3/10 est intérieur à l'ensemble ouvert (-1,1)
Exemple : 3/10 est intérieur à l'ensemble fermé [-1,1]
Exemple : 1 n'est intérieur ni à (-1,1) ni à [-1,1]
Exemple : aucun point n'est intérieur à { : }

Je comprends bien la définition et tous les exemples sauf le dernier.
Dans mes notes, j'ai écrit comme justification pour ce dernier exemple :

Etant donné qu'entre 2 points successifs de A il y a toujours une distance non nulle, il sera impossible de centrer un intervalle ouvert en un de ces points qui soit entièrement inclus dans A.

A titre informatif, un peu plus loin dans mon cours j'ai la propriété suivante :

Tous les points d'un ensemble ouvert A lui sont intérieurs.

Pour revenir à l'exemple (en gras) qui me pose problème, le point par exemple est pour moi un point intérieur, il se trouve en effet au centre de l'intervalle ouvert (, ).

Je me trompe quelque part ? Merci de m'éclairer

[plastic]

A noter que dans mon exemple, l'ensemble A = { : } n'est pas fermé.

En effet, par définition je sais que :

Un sous-ensemble A de est fermé ssi toute suite d'éléments de A qui converge (dans ) converge dans A.

Si je prends par exemple la suite : qui est une suite d'éléments de A, elle ne converge pas dans A (elle converge vers 0 qui n'appartient pas à l'ensemble A). L'ensemble A n'est donc pas fermé.

[prody-G]

salut,

c'est bien A={} ?

On dit que x est intérieur à A si A est voisinage de x cad qu'il existe tel que soit inclus dans A.
Tu vois que tout intervalle de cette forme est dense alors que A ne l'est pas donc il ne peut pas être inclus dans A, donc A n'est voisinage d'aucun de ses points, et donc aucun des points de A ne lui est intérieur.

[plastic]

hé merci beaucoup ! Je ne voulais pas avancer avant d'avoir compris, la notion de voisinage était reprise plus loin et permet effectivement de comprendre la résolution de cet exemple. Merci beaucoup pour ton aide, bonne soirée !

[prody-G]

Un point a est intérieur à l'ensemble A \subset \mathbb{R} ssi il est le centre d'un intervalle ouvert entièrement contenu dans A.

Pour revenir à l'exemple (en gras) qui me pose problème, le point par exemple est pour moi un point intérieur, il se trouve en effet au centre de l'intervalle ouvert (, ).

Je me trompe quelque part ? Merci de m'éclairer

On a bien qui appartient à mais cet intervalle n'est pas inclus dans A car par exemple 0.26 appartient à mais n'appartient pas à A.

[Anna68]

0.26 ne peut pas s'écrir sous forma de 1/n; donc , automaticement, il n'appartient pas à l'ensemble A.