Méthode de Newton [Analyse numérique]

[legeniedesalpages]

Bonsoir je bloque sur ce problème.

Soit où (la cas peut aussi être considéré).

a) Exprimer uniquement avec des additions, soustractions et multiplications, étant la suite définie par la méthode de Newton pour résoudre .

b) Pour certains la suite converge, lesquels et quelle est la limite? Que cela montre-t-il?

Bon pour la a) c'est ok, je trouve .

Après pour la b), je ne vois pas comment procéder,

merci pour vos réponses.

[Argentoratum]

Je pense plutôt qu'il faut que tu "mesure" quelque points obtenus par ta fonction et qu'ensuite tu appliques la formule de Newton via le schéma de Aïtken-Neville.
Et donc je pense que tu dois trouver plûtot un polynôme.
Je ne sais pas si ce'st cette méthode que tu cherches, si c'est bien elle, elle est très simple et je peux te montrer comment faire.

[legeniedesalpages]

Bonjour argentotarum,

tu as un lien vers ce schéma d'aitken-Neville?

je ne vois ce que c'est cette méthode. En revanche dans le cours il ya la méthode d'accélération de convergence d'Aitken, la méthode d'aitken-steffensen, et dans un autre chapitre sur les quadratures la méthode de Neville.

[legeniedesalpages]

ok je viens de trouver dans mon bouquin d'analyser numérique l'algo de Neville et l'algo d'aitken présenté successivement dans le chapitre des intervpolations polynomiales, je regarde ça.

:)

[legeniedesalpages]

Je ne vois pas vraiment le lien entre la convergence de ma suite et les interpolations polynômiales, je veux bien que tu me montres ta méthode argentoratum. :)

[Argentoratum]

En fait je plus très sûr qu'il faille utilisé ma méthode. Car en relisant ton énoncé, il faut déterminer une suite, or avec la méthode de Newton on obtient le polynôme d'interpolation.
De plus, c'est plus logique de parler de convergence de suite que de polynôme.
Je crois que j'ai parlé trop vite. Désolé.

[legeniedesalpages]

lol, oui j'aurai du préciser, il doit y avoir pleins de méthodes de newtons, ou de polynômes de newton, etc.. en analyse.

En fait C'est un exercice dans le contexte de la résolution des équations scalaires non linéaires, et la méthode de Newton est celle donnée sur cette page: [url=http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_newton]http://fr.wikipedia.org/wiki/Méthode_de_newton[/url], , pour déterminer les racines d'une fonction.

Pour ce qui est de la question b), je pense qu'il y a une histoire de point fixe (comme le reste de la leçon), mais je ne vois pas comment me dépatouiller :briques:

merci quand même argentoratum

[Argentoratum]

OK, au temps pour moi, bonne chance.

[alben]

Bonjour,
Effectivement, c'est une affaire de point fixe. Si ta suite converge, alors et se rapprochent et la limite sera la solution de l'équation x=2x-ax² qui a deux solutions. x=0 ne peut pas convenir
Pour trouver les valeurs de xo qui assurent la convergence, il te faut transformer la formule du a) en et voir à comment évolue le rapporten fonction de xn

[legeniedesalpages]

Bonjour alben, et merci pour ta réponse.

Je ne comprends pas pourquoi l=0 ne convient pas?

[alben]

Bonjour alben, et merci pour ta réponse.

Je ne comprends pas pourquoi l=0 ne convient pas?

si tu pose xo=0, ta suite est bien stationnaire mais ta fonction f n'est pas définie pour x=0 !

[legeniedesalpages]

si tu pose xo=0, ta suite est bien stationnaire mais ta fonction f n'est pas définie pour x=0 !

oui c'est vrai, donc 0 est écarté.

Pour trouver les valeurs de xo qui assurent la convergence, il te faut transformer la formule du a) en

Pour ça c'est ok aussi.

et voir à comment évolue le rapporten fonction de xn

On avait vu ce genre de rapport pour des "accélérations de convergence" ou "ordre de convergence", concept que je n'ai pas bien compris.

Je trouve donc .

Si je comprends bien, il faut que soit tel que ?? C'est un peu flou :hein:

[legeniedesalpages]

Bon en fait je dis n'importe quoi, j'ai pas bien réfléchi, désolé.

[legeniedesalpages]

par récurrence, je trouve




et si je comprend bien ce rapport ne dépend pas de la suite ?

[legeniedesalpages]

Je ne comprend pas non plus en quoi ça va nous aider à résoudre la question.
J'espère que ça ne fait pas appel à des résultats qui repose sur les nombresz de feigenbaum ou sur les suites logistiques, parce que j'ai pas compris grand chose de cette partie du chapitre.

[alben]

Non il y a quelque chose qui ne va pas dans ta récurrence, ce serait plutôt

Mais ce n'est pas ça que je voulais dire, simplement pour que ça converge, il faut que le rapport soit inférieur à 1 à partir d'un certain rang. Réciproquement s'il existe un p tel que le rapport soit supérieur à 1, la suite divergera.
Finalement on doit avoir pour tout p , et en particulier pour p=0, ce qui se traduit par 0 < xo < 2/a

[legeniedesalpages]

Non il y a quelque chose qui ne va pas dans ta récurrence, ce serait plutôt

Mais ce n'est pas ça que je voulais dire, simplement pour que ça converge, il faut que le rapport soit inférieur à 1 à partir d'un certain rang. Réciproquement s'il existe un p tel que le rapport soit supérieur à 1, la suite divergera.
Finalement on doit avoir pour tout p , et en particulier pour p=0, ce qui se traduit par 0 < xo < 2/a

D'accord, merci alben je vais creuser tout ça :mur:

juste pour la récurrence, même si ça n'a pas de rapport quand tu dis

(c'est pour être sûr, vu que je vois des puissances de a à droite et à gauche de la valeur absolue, ça me periturbe un peu :marteau: )

[alben]

Désolé, c'est

[legeniedesalpages]

ok j'ai enfin compris, quel boulet.

Merci pour ta patience alben :)