[PROBA] Occurrence de séquence

[momsse]

Bonjour à tous,

Je rencontre actuellement un problème avec un exercice de probabilité, la partie en gras est celle ou j'ai bloqué. J'ai la solution, mais je ne la comprend pas (demandez la moi si vous souhaitez la comparez avec la votre).


Pile ou face ?
On considère le jeu de «pile ou face», décrit par l'espace probabilisé suivant : (la pièce tombe sur pile ou sur face), chaque événement atomique étant équiprobable.

On itère le jeu 2n fois (l'espace probabilisé devient donc ). Quelle est la probabilité «d'obtenir autant de piles que de faces»?

On considère la variable aléatoire égale au nombre d'occurrences de la séquence .

Quelle est l'espérance de la variable aléatoire . (On pourra écrire comme une somme de variables aléatoires).

Si vous pourriez m'éclairer, ca serait gentil, merci d'avance !

[alben]

Quelle condition sur k ? il est compris entre 1 et 2n c'est tout ?
Si k=2 et si on obtient PPPPP..PP 2n fois, ça fait n occurences de PP ou 2n-1 ?

[momsse]

Voici la solution E(X)= (2n - k + 1) (1/2)^k.

J'arrive vraiment pas à la comprendre. :marteau:

[momsse]

Quelle condition sur k ? il est compris entre 1 et 2n c'est tout ?
Si k=2 et si on obtient PPPPP..PP 2n fois, ça fait n occurences de PP ou 2n-1 ?

K est compris entre 1 et 2n.

Je n'ai pas la réponse à ta 2eme question, l'exercice est mal posée, j'espère que la solution pourra te diriger, moi je ne vois vraiment pas !

Merci !

[alben]

Si k=2 et si on obtient PPPPP..PP 2n fois, ça fait n occurences de PP ou 2n-1 ?

La réponse donnée indique que l'on compte 2n-1 occurence, autrement dit qu'une séquence de k+1 piles compte pour deux occurrences, la première en negligeant le dernier P, l'autre en négligeant le premier.

[momsse]

La réponse donnée indique que l'on compte 2n-1 occurence, autrement dit qu'une séquence de k+1 piles compte pour deux occurrences, la première en negligeant le dernier P, l'autre en négligeant le premier.

Supposons qu'on est la suite suivante:

PPPP

et que k=2, on obtiendrai pas 3 occurrences ?

PP..
.PP.
..PP

[alben]

Si c'est bien ça

[momsse]

Si c'est bien ça

Tu as une idée a quoi pourrai ressembler le tableau d'Espérance ?

La question que je me pose est si X=k ou si X = nombre de séquence de k 'P' ?

[alben]

C'est clair maintenant, la VA c'est le nombre d'occurence de séquences de k piles.
Ton énoncé suggère de raisonner sur une somme de VA, et il semblerait naturel de prendre les 2n-k+1 k-uples 1,2,..,k)(2,3,..k+1)....(2n-k+1,2n) qui ne sont pas indépendants, ce qui n'empêche pas de sommer les espérances.
Ainsi si les k premiers tirages donnent P, 0 sinon
si le 2ième, 3ième, k+1 tirage donnent tous P 0 sinon
jusqu'à
L'espérance de chaque Xi n'est pas difficile à calculer et il suffit de sommer.
On retombe bien sur ton résultat :we:

[momsse]

C'est clair maintenant, la VA c'est le nombre d'occurence de séquences de k piles.
Ton énoncé suggère de raisonner sur une somme de VA, et il semblerait naturel de prendre les 2n-k+1 k-uples 1,2,..,k)(2,3,..k+1)....(2n-k+1,2n) qui ne sont pas indépendants, ce qui n'empêche pas de sommer les espérances.
Ainsi si les k premiers tirages donnent P, 0 sinon
si le 2ième, 3ième, k+1 tirage donnent tous P 0 sinon
jusqu'à
L'espérance de chaque Xi n'est pas difficile à calculer et il suffit de sommer.
On retombe bien sur ton résultat :we:

Merci pour ton aide, cependant tu pourrais m'éclairer davantage sur le passage en gras suivant:

Ton énoncé suggère de raisonner sur une somme de VA, et il semblerait naturel de prendre les 2n-k+1 k-uples 1,2,..,k)(2,3,..k+1)....(2n-k+1,2n) qui ne sont pas indépendants, ce qui n'empêche pas de sommer les espérances.

Merci encore !

[alben]

Je l'ai explicité juste après : on prend les VA : X1, X2...etc et on écrit que

[momsse]

Je l'ai explicité juste après : on prend les VA : X1, X2...etc et on écrit que

Ok ca marche, je vais m'y pencher davantage.

Merci encore !

[momsse]

J'ai vraiment du mal à comprendre le raisonnement, pourrait tu me montrer a quoi ressemble les premier Xi, je t'en remercie d'avance ! :briques:

[alben]

Disons k=3
X4 est une VA qui peut prendre seulement deux valeurs, 0 ou 1
si les 4ième, 5ième et 6ième tirages donnent tous trois 'pile', X4=1
s'il y a un (ou plus d'un) "face" sur ces trois tirages, X4=0.
Donc la proba que X4=1 est de 1/8 et celle de X4=0 est de 7/8.
D'où E(X4)= 1.1/8+0.7/8=1/8.