Equations seconde

[ninievy]

Bonjour, je reprend mes études et je dois revoir les bases en maths donc je reprend le programme de maths en seconde mais là, je suis complètement perdue, je ne comprend plus grands chose aux équations..
Voilà un exercice corrigé, quelqu'un pourrait il m'expliquer comment on arrive au résultat?? (avec précision et en décortiquant parce que les livres ne sont pas assez explicites)

exercice : "Trouvez deux réels a et b vérifiant l'égalité :
1/(x²-1) = a/(x-1) + b/(x+1) pour tout x différent de 1 et -1."

Voila le corrigé que je ne comprends pas : "Comme a/(x-1) + b/(x+1) = [a(x+1)+b(x-1)]/[(x-1)(x+1)] = [(a+b)x+a-b]/(x²-1), il faut et il suffit que (a+b)x+a-b=1 pour que l'égalité désirée soit vraie pour tout x différent de -1 et de 1. Or 1=0x+1 donc (a+b)x+a-b = 0x+1 d'où a+b=0 et a-b=1
De a=-b on déduit : -2b=1 donc b=-1/2 et a = 1/2"

[apmne]

salut

on commence par réduire au même dénominateur l'expression:

a/(x-1) + b/(x+1) = [a(x+1)+b(x-1)]/[(x-1)(x+1)] avec x#1 et x#-1;

on réduit le numérateur: [a(x+1)+b(x-1)]= ax+a+bx-b = (a+b)x + a-b

le dénominateur devient (x-1)(x+1)= x²-1 ( on développe ou on utilise l'identité remarquable A²-B²= (A+B)(A-B) avec A=x et B=1)

on a donc :

a/(x-1) + b/(x+1) = [a(x+1)+b(x-1)]/[(x-1)(x+1)] =[(a+b)x + a-b]/(x²-1)

qui doit être égal à 1/(x²-1) ==> le numérateur doit etre egal à 1

soit =(a+b)x + a-b=1.
dans le membre de gauche, il n'y a pas de terme en x ==> 0x= a+b

a+b=0 --> a=-b
il reste a-b=1 --> on remplace a par -b -> -b-b=2

donc -2b=1 ==> b=-1/2 et comme a=-b ==> a=-(-1/2)= 1/2

on remplace a et b par leurs valeurs dans l'expression de départ et on a :

1/(x²-1)= 1/2*(x-1) - 1/2*(x+1) avec x#1 et x#-1.

est ce ok maintenant?

[fibonacci]

Bonjour;

on peut aussi:

[oscar]

Bonjour


1/(x²-1) = a/(x-1) +b/(x-1) ( x#-1 et 1)

Réduisons au même dénominateur x²-1 =(x-1)(x+1)

1/ (x²-1) = a(x+1)/x+1)(x-1) + b(x-1)/(x-1)(x+1)
+> 1= a(x+1) + b(x-1)
+> 1 = ax +a + bx -b
<=> ax + b x = 1 - a +b

<=> (a + b) x = 1 - ( a -b)

L' egalité est vraie si a+b=0 et 1-(a-b)=0 ou a-b=1
On a le système
a + b= o
a - b =1
Par addition : 2a = 1 => a = 1/2
Par soustraction 2b = -1 => b =-1/2

Donc a = 1/2 et b = -1/2

Preuve 1(x²-1) = 1/ 2 (x-1) -1/2(x+1)
...........1/(x² - 1) = ( x+1)/ 2(x²-1) -1(x-1) / 2(x² -1)
............1 / (x²-1) = (x+1 -x + 1)/2(x²-1)
........... 1/ (x² -1) = 2/2 (x² -1) = 1/( x² - 1) VRAIE


J O Y E U X N O E L..

[fibonacci]

Bonjour;

conclusion seule la valeur x=1 ne vérifie pas l'expression

[ninievy]

:we: Merci à vous tous!!! j'ai compris... !

[ninievy]

L' egalité est vraie si a+b=0 et 1-(a-b)=0 ou a-b=1
On a le système
a + b= o
a - b =1
Par addition : 2a = 1 => a = 1/2
Par soustraction 2b = -1 => b =-1/2

Quoique juste une petite précision SVP,

je comprends que l'égalité soit vraie pour a+b=0 et 1-(a-b)=0 ou a-b=1
MAIS je ne comprends pas comment on arrive à 2a=1 par addition
et comment on arrive a 2b=-1 par soustraction...
help please!

[gol_di_grosso]

a+b=0
a-b=1
ces deux égalité sont vrai
donc si tu ajoute ou soustrait
a+b+(a-b)=0+1=>2a=1
ou a+b-(a-b)=0-1=>2b=-1

prend par exemple
5+3=8
3-1=2

tu as bien 5+3+(3-1)=8+2 (8+2=8+2)
ou la soustraction 5+3-(3-1)=8-2 (8-2=8-2)

plus clair ou encore plus flou ?

[ninievy]

c'est parfait merci :id:
la j'ai TOUT compris :we: