Théorème sur la continuité de la dérivée

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Quidam
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Théorème sur la continuité de la dérivée

par Quidam » 21 Déc 2007, 11:59

Bonjour à tous !

Il me semble que si :

et que si :

alors, on ne peut conclure que k=l !

Or le professeur d'une de mes élèves a affirmé le contraire dans son cours, à savoir :
[CENTER][INDENT]Si la dérivée d'une fonction tend vers une limite finie k lorsque x tend vers , et si f est dérivable en , alors [/INDENT][/CENTER]

Ce qui revient à dire :
[CENTER][INDENT]Si la dérivée d'une fonction tend vers une limite finie k lorsque x tend vers , et si f est dérivable en , alors f' est continue en [/INDENT][/CENTER]



Qui a raison ? Serais-je dans l'erreur ? J'avoue que je ne suis pas sûr de moi ! Quelqu'un pourrait me sortir de cette incertitude ?

Merci d'avance de votre aide !



Dominique Lefebvre
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par Dominique Lefebvre » 21 Déc 2007, 12:30

Quidam a écrit:Bonjour à tous !

Il me semble que si :
Image
et que si :
Image
alors, on ne peut conclure que k=l !

Or le professeur d'une de mes élèves a affirmé le contraire dans son cours, à savoir :


[indent]Si la dérivée d'une fonction tend vers une limite finie k lorsque x tend vers Image, et si f est dérivable en Image, alors Image[/indent]


Ce qui revient à dire :


[indent]Si la dérivée d'une fonction tend vers une limite finie k lorsque x tend vers Image, et si f est dérivable en Image, alors f' est continue en Image[/indent]




Qui a raison ? Serais-je dans l'erreur ? J'avoue que je ne suis pas sûr de moi ! Quelqu'un pourrait me sortir de cette incertitude ?

Merci d'avance de votre aide !


Salut Quidam,

Mes souvenirs sont loins, mais ne serait-ce pas le théorème limite de la dérivée, qu'on démontre avec le TAF?

BQss
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par BQss » 21 Déc 2007, 12:39

Si f est dérivable autour de x0 et continue en x0, on peut en effet bien affirmer que si f' a une limite finie en x0 alors f est dérivable en x0 de dérivée la limite en x0 de f'. Donc sous certaines hypothéses de continuité de f on a meme mieux, c'est a dire que limite finie de la dérivée--> dérivable de dérivée la limite.
Et ca se montre effectivement avec l'égalité des accroissements finis.

tize
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par tize » 21 Déc 2007, 12:42

Bonjour,
oui c'est bien cela...

Quidam
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par Quidam » 21 Déc 2007, 12:46

Dominique Lefebvre a écrit:Salut Quidam,

Mes souvenirs sont loins, mais ne serait-ce pas le théorème limite de la dérivée, qu'on démontre avec le TAF?


Apparemment, les miens sont encore plus loin ! Merci de me rafraîchir la mémoire !

BQss
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par BQss » 21 Déc 2007, 12:52

ba sous les hypothèses que j'ai énoncé on a :
(f(x)-f(a))/(x-a)=f'() pour un d'apres le taf.
Puis tu passes a la limite en a des deux cotés, a gauche c'est la dérivée et a droite la limite de la dérivée....

Quidam
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par Quidam » 21 Déc 2007, 12:56

BQss a écrit:Donc sous certaines hypothése de continuité de f on a meme mieux, c'est a dire que limite finie de la dérivée--> dérivable.
Et ca se montre effectivement avec l'égalité des accroissements finis.

Merci !
Mais justement, peut-être ai-je confondu : "sous certaines hypothése de continuité " : lesquelles ?
Peut-être la mise en garde que j'avais mal retenue était-elle :
Si la dérivée a une limite lorsque , et si les mystérieuses conditions auxquelles tu fais référence ne sont pas remplies, alors on ne peut pas affirmer que f soit dérivable en , ou alors, on ne peut pas conclure que même si f est dérivable en , la dérivée de serait la limite de la dérivée à son voisinage ?

Euh ... Suis-je bien clair là ? Pas sûr !

Quidam
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par Quidam » 21 Déc 2007, 13:00

BQss a écrit:ba sous les hypothèses que j'ai énoncé on a :
(f(x)-f(a))/(x-a)=f'() pour un d'apres le taf.
Puis tu passes a la limite en a des deux cotés, a gauche c'est la dérivée et a droite la limite de la dérivée....

Oui, c'est clair ! Merci beaucoup !

Je ne sais pas pourquoi j'avais gardé une mise en garde de ce genre dans ma mémoire...

Yvon
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par Yvon » 21 Déc 2007, 13:00

Bonjour,

Je ne vois pas de contradiction entre les deux propositions puisque le professeur ajoute une hypothèse de dérivabilité.
Vous avez donc tous les deux raison !

BQss
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par BQss » 21 Déc 2007, 13:01

Oui c'est la continuité en x0 de f qui est necessaire, sinon pas de taf, mais vu que le prof de ton eleve a rajouter que f'(x0)=l, donc dérivable en x0 donc continue en x0, il n'y a aucun probleme c'est meme plus puissant.

BQss
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par BQss » 21 Déc 2007, 13:02

Yvon a écrit:Bonjour,

Je ne vois pas de contradiction entre les deux propositions puisque le professeur ajoute une hypothèse de dérivabilité.
Vous avez donc tous les deux raison !


voila! :)...

Yvon
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par Yvon » 21 Déc 2007, 13:07

Je viens de supprimer mon message car je me suis aperçu que j'avais dit une bêtise : l'hypothèse sous-entend que f est dérivable en

Quidam
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par Quidam » 21 Déc 2007, 20:18

Merci à vous tous !

 

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