Spé maths : nombres parfaits

[vincelity]

Salut, j'ai un DM en spé maths pour mardi et j'ai du mal sur la deuxieme partie.

On dit qu'un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est à dire autres que lui meme).


Partie B:

1)Soit a un nombre pair. Montrer que 'on peut écrire a sous la forme 2^n*b ou b est impair.
2)On note s(a) la somme de tous les diviseurs positifs de a.
a)Montrer que s(a)=(2^(n+1)-1)s(b). (On pouura noter d1,d2,...,dp les diviseurs de b et exprimer les diviseurs de a en fonction de b).
b)A quelle condition sur s(a), a est il un nombre parfait?
3)a)Montrer que cette condition est équivalente a :
b=(s(b)-b)(2^(n+1)-1).
b)En déduire que s(b)-b est un diviseur de b.
c)De s(b)=b+(s(b)-b), déduire que b est premier puis que b=2^(n+1)-1.
4)Conclure.

Voila ce que j'ai répondu:

1)2^n est pair et b est impair. Or, un nombre pair multiplié par un nombre impair est pair. Donc 2^n*b est pair.
2)a) s(a)=(1-2^(n+1))/(1-2) + d1,d2,...,dp et j'arrive a s(a)=-1+2^(n+1)+s(b)
b)a est parfait si s(a)=a

[Chimerade]

1)Soit a un nombre pair. Montrer que 'on peut écrire a sous la forme 2^n*b ou b est impair.
Voila ce que j'ai répondu:

1)2^n est pair et b est impair. Or, un nombre pair multiplié par un nombre impair est pair. Donc 2^n*b est pair.

Ta démonstration n'en est pas une : tu viens juste de démontrer que 2^n*b est pair.
D'une part, c'est inexact : je te signale que 2^0 est impair
D'autre part, en admettant que tu ais expressément défini n comme strictement positif, ce que tu as démontré n'est pas ce qu'on te demande. Si je te prends au mot, ça voudrait dire que : Bon on choisit un nombre pair a quelconque au hasard. On choisit un n strictement positif quelconque, ainsi qu'un nombre impair quelconque b : alors 2^n*b est pair ! Je suis tout-à-fait d'accord ! Mais où est le rapport avec a ?
Au contraire, si a t'es imposé, a pair. Alors, prouve qu'on peut trouver n et b tel que a=2^n * b. En toute rigueur, tu n'es pas tenu de dire comment tu vas trouver n et b, tu es juste tenu de prouver qu'ils existent : b et n tels que a=2^n*b ! Mais ici, tu n'as rien démontré du tout à propos de la question posée !

2)a) s(a)=(1-2^(n+1))/(1-2) + d1,d2,...,dp et j'arrive a s(a)=-1+2^(n+1)+s(b)

Que veut dire d1,d2,...,dp ? d1+d2+...+dp ?
Même si c'est le cas, il faudrait le démontrer ! Et de plus il est clair que tu n'obtiens pas la même chose que ce qui est demandé ! Le prof se serait-il trompé ?

b)a est parfait si s(a)=a

s(a) est la somme des diviseurs de a est s(a) non?
Donc comme "On dit qu'un entier naturel est parfait s'il est égal à la somme de ses diviseurs propres (c'est à dire autres que lui meme)." a sera parfait si s(a)-a=a, donc s(a)=2a !

Bon il est bien tard, j'espère que j'aurais le temps demain de te répondre de manière plus constructive, mais en attendant, je te conseille de méditer sur mes commentaires.

[Chimerade]

Soit a un nombre pair. Montrer que 'on peut écrire a sous la forme 2^n*b ou b est impair.

a étant pair, il peut s'écrire sous la forme
Si est impair, alors
Si est pair, alors il peut s'écrire sous la forme
et
Si est impair, c'est fini.
Si est pair, alors il peut s'écrire sous la forme
et
Si est impair, c'est fini.
Etc, la suite est strictement décroissante elle ne peut se prolonger indéfiniment puisqu'elle est bornée inférieurement par 1. Nécessairement, elle va s'arrêter sur un nombre impair : il existe n tel que est impair.
Alors :
CQFD

[vincelity]

Merci Chimerade pour ton aide, j'ai compris pour les questions 1) et 2)b) :id: . Si tu peux m'éclairer pour le reste.

[Chimerade]

Merci Chimerade pour ton aide, j'ai compris pour les questions 1) et 2)b) :id: . Si tu peux m'éclairer pour le reste.

Je te suggère de me détailler comment tu cherches et tu trouves tous les diviseurs de a.

[vincelity]

les diviseurs de a sont les diviseurs de b ( c'est à dire d1,d2,...,dp ) et les diviseurs de 2^n. Les diviseurs de 2^n sont les nombres 2^r avec r inférieur ou égal à n.

[Chimerade]

les diviseurs de a sont les diviseurs de b ( c'est à dire d1,d2,...,dp ) et les diviseurs de 2^n. Les diviseurs de 2^n sont les nombres 2^r avec r inférieur ou égal à n.

Ben c'est ça le problème, tu en oublies pas mal ! Je suppose que d1=1. Ceux que tu viens de citer "les diviseurs de 2^n" sont les nombres 1*d1, 2*d1,4*d1,8*d1,...,(2^n)*d1 (soit dit en passant, tu comptes deux fois le diviseur 1 : une fois en listant d1,d2,...dp, et une deuxième fois parmi les diviseurs de 2^n : 2^0 eh oui !)
Que penses-tu de 1*d2,2*d2,4*d2,8*d2,...,(2^n)*d2 ? Ils ne divisent pas a ?
Et 1*d3,2*d3,4*d3,8*d3,...,(2^n)*d3 ?
...
Et 1*dp,2*dp,4*dp,8*dp,...,(2^n)*dp ?

Dans chacune de ces p séries de diviseurs, il y a (n+1) diviseurs, et tu n'en a cité qu'un (le premier 1*d1=d1, 1*d2=d2) !

Ca fait beaucoup d'oublis !

Allez, recompte !

[vincelity]

ok, alors si j'ai bien compris les diviseurs de a sont: 2^r*(d1,d2,...,dp) avec r inférieur ou égal à n.

[Chimerade]

ok, alors si j'ai bien compris les diviseurs de a sont: 2^r*(d1,d2,...,dp) avec r inférieur ou égal à n.

Tu as bien compris !

[vincelity]

je ne vois pas en quoi s(a)=2a est équivalent à b=(s(b)-b)(2^(n+1)-1) :hein:

[Chimerade]

je ne vois pas en quoi s(a)=2a est équivalent à b=(s(b)-b)(2^(n+1)-1) :hein:

As-tu démontré que ?

Si oui alors a nombre parfait, équivalent à s(a)=2a équivaut également à :


Et comme , on a :







CQFD

[vincelity]

as tu la solution a la question 3)c), la derniere promis :zen: .

j'ai trouvé b=(s(b)*(2^(2n+1)-1)/(2^(n+1))

d'apres l'énoncé il faut trouver b=2^(n+1)-1.

dans mon expression s(b) devrait donc etre égal à 2^(n+1) mais je sais pas comment le démonter.

[Chimerade]

as tu la solution a la question 3)c), la derniere promis :zen: .

j'ai trouvé b=(s(b)*(2^(2n+1)-1)/(2^(n+1))

d'apres l'énoncé il faut trouver b=2^(n+1)-1.

dans mon expression s(b) devrait donc etre égal à 2^(n+1) mais je sais pas comment le démonter.

Regarde mon post de 22H18 ! Il y est montré comment arriver à la formule demandée en 3)a) : tu as besoin de cette formule pour continuer !

[vincelity]

a la question 3)c) je trouve tout sauf ce qui faut :triste:
je me suis aidé de la formule démontrée pérécemment mais je trouve quand meme pas b=2^(n+1)-1

[Chimerade]

a la question 3)c) je trouve tout sauf ce qui faut :triste:
je me suis aidé de la formule démontrée pérécemment mais je trouve quand meme pas b=2^(n+1)-1

divise donc mais est premier avec : il divise donc S(b). Posons

Alors :




Il en résulte que S(b)=b+k.

Or b a pour diviseur déjà k et lui-même b. Si k est différent de 1, il faut au moins ajouter le nombre 1 à la liste des diviseurs de b. Donc :

S(b)=b+k+1+... > (b+k)

ce qui est impossible ! (On remarquera que le nombre 1 s'exclue ici : lorsque l'on fait la liste des diviseurs de b et qu'on énonce b et 1, implicitement on suppose que b n'est pas égal à 1)

Donc k=1.


Comme S(b)=b+1, b est premier, n'admettant que 1 et lui même b comme diviseurs.

La réciproque est facile à faire : on choisit une puissance de 2 quelconque telle que soit premier. Il est facile de vérifier qu'alors le nombre est parfait.

En conclusion tous les nombres de la forme , avec n (>0) tel que soit premier sont parfaits et ces nombres sont les seuls nombres parfaits.