Nature d'intégrale

[blowcoxx]

Bonsoir, je viens d'avoir un Exam en analyse et je voudrais savoir quel est la nature des intégrales suivants, pour voir si je peux quand même espérer avoir quelques points...

1)

2)

3)

4)

Aussi il était demander de calculer la limite en de en utilisant les développements limités. Je vois pas comment faire !! Vous trouvez quoi?

[BQss]

salut,

1)converge: en 0 equivalent à 1/x^(1/2)

2)converge: chercher a majorer la valeur absolue de l'integrale par une suite covergente

3) diverge: prendre la limite en l'infini de l'integrale de 0 à n

4)converge: en +l'inf equivalent a 1/x^2 et en 0 negligeable devant 1/x^(1/2)

[BQss]

Et pour le dl, puisque apparemment c'est desert je m'y colle ;),
il suffit de factoriser par x^3 :
(x^3(1/x+7/x^3+1))^1/3-x=x(1+u)^(1/3)-x et d'appliquer le dl (à l'ordre 1 ca suffit) a (1+u)^(1/3) en 0, ce qui donne au final x+1/3-x+o(1/x)=1/3 en l'infini. Et la limite vaut donc 1/3.

[BQss]

Pour la 2 ca mérite peut-etre de devellopper:

|| a la meme nature que |=
donc et donc la on pourrait facilement conclure a la convergence avec une puissance supérieur à 1, mais avec 1/2 on peut pas conclure a la convergence avec ce genre de minoration... Je laisse ca a qui veut poursuivre.

*edit:Ok il faut utiliser directement une égalité et tomber sur une série convergente car l'intégrale n'est pas absolument convergente (on voit qu'on aura il me semble une somme du type avec epsilon qui tend vers 0 suffisamment vite), si quelqu'un veut le faire et le formaliser moi j'y vais j'ai du taff...

[busard_des_roseaux]

3) diverge: prendre la limite en l'infini de l'integrale de 0 à n

bien non. c'est faux.

[Pythales]

C'est même une intégrale de Fresnel, dont on connaît la valeur exacte.

[BQss]

ah bon surement alors je l'ai pas calculé et je suspectais qu'en linéarisant puis integrant de [0,n] on verrait tendre ca vers l'infini.
Calculons le pour verifier:

qui tend vers l'infini en l'infin donc je suis sceptique

[Nightmare]

Bonjour :happy3:

Erratum BQss, l'intégrande et sin(t²) et non sin²(t)

:happy3:

[BQss]

Bonjour :happy3:

Erratum BQss, l'intégrande et sin(t²) et non sin²(t)

:happy3:

oula oui lol, j'avais lu sin^2(t). sin(t^2) a toute les raisons du monde de converger en effet , sin^2 j'en doutais fort .

[yos]

Pour la 2, deux IPP.
Idem pour 3, mais u=t² avant.
La 4 cv mais en 0, il faut une primitive"

[BQss]

La 4 cv mais en 0, il faut une primitive"

en 0 ca converge car negligeable devant , que veux tu dire en parlant de la primitive? Il n'est pas necessaire d'intégrer, tend vers 0 en l'infini... Et est integrable sur ]0,1]

[yos]

Ah oui ça marche aussi.
Je disais ln(1+1/t²) équivalent à -2lnt (primitive 2t-2tlnt).

[BQss]

ah ok je vois.