Groupes

par **Syracuse** » 14 Déc 2007, 17:02

Bonjour

J'ai un DM sur les groupe et il y a un exercice que je ne comprends pas très bien. Pouvez-vous me dire si c'est juste ?
Voilà l'énoncé :

Soit G un groupe d'ordre 10. Montrer qu'il existe au moins un elt a d'ordre 5.

Supposons qu'il n'en existe pas alors il n'existe pas non plus de sous groupe de a d'ordre 1. Absurde car {e} est un sous groupe de a d'ordre 1.

Soit H = . Mq si H' est un ss gpe de G alors = {e}ou H

Si

Sinon

et

{e}

En déduire que G possède un elt b d'ordre 2.

{H,{e}}

Mq il existe un r dans [| 1;4 |] tq bab = a^r
calculer (bab)^r et en deduire que r^2 congru à 1 mod 5

Par contre là je ne vois pas :/

par **ThSQ** » 14 Déc 2007, 17:35

Syracuse a écrit:Supposons qu'il n'en existe pas alors il n'existe pas non plus de sous groupe de a d'ordre 1. Absurde car {e} est un sous groupe de a d'ordre 1.

Gni ?
C'est ou bien de théorème de Cauchy (H.P. taupe je crois ?, tu es où ?) ou bien par contradiction.
Sinon tous les éléments sont d'ordre 2 (Lagrange). Il y a donc e et des couples {x,

} mais c'est imp. car 10 a le bon gout d'être pair.

Pour le 2èm truc, c'est pas hyper clair, mais si H= alors |H|=2 ou 5 et un sous-groupe d'ordre premier n'a pas de ss-grp propres

......

par **Syracuse** » 14 Déc 2007, 17:40

Merci pour ta réponse.
Je viens de me rendre compte de mon erreur : j'ai confondu elt et groupe.
Sinon pour le th de Cauchy, Lagrange etc, on a pas encore vu (je suis en MPSI).

par **leon1789** » 14 Déc 2007, 18:06

ThSQ a écrit:C'est ou bien de théorème de Cauchy (H.P. taupe je crois ?, tu es où ?) ou bien par contradiction.
Sinon tous les éléments sont d'ordre 2 (Lagrange). Il y a donc e et des couples {x, } mais c'est imp. car 10 a le bon gout d'être pair.

oups, quand les éléments sont d'ordre 2, on a

. Donc

est de cardinal 1 !

par **ThSQ** » 14 Déc 2007, 18:36

Lol, c'est nawak mon truc !

par **yos** » 14 Déc 2007, 19:14

Bonsoir.
C'est bizarre : le fil de la discussion est confus. Je dois pas avoir les idées claires.
Pour ce groupe d'ordre 10, j'imagine que l'on n'a pas le droit aux théorèmes de Sylow.
Les éléments non neutres sont d'ordre 2,5 ou 10. Si un élément est d'ordre 10, son carré est d'ordre 5. Si tous sont d'ordre 2, le groupe contient le ssg {1,a,b,ab} dont l'ordre divise pas 10 ....

par **leon1789** » 14 Déc 2007, 21:16

yos a écrit:Bonsoir.
C'est bizarre : le fil de la discussion est confus. Je dois pas avoir les idées claires.

Le premier message de ThSQ a été effacé.

yos a écrit:Les éléments non neutres sont d'ordre 2,5 ou 10. Si un élément est d'ordre 10, son carré est d'ordre 5. Si tous sont d'ordre 2, le groupe contient le ssg {1,a,b,ab} dont l'ordre divise pas 10 ....

Ok.
Allez, je vais tenter un retournement "à la goldorak" :marteau:

On prend deux éléments

non neutres et non inverses l'un de l'autre, et on pose c=ab. Alors {1,a,b,c} n'est pas isomorphe au groupe

(4 ne divise pas 10). En particulier, parmi les éléments

se trouve un élément d'ordre différent de 2, donc d'ordre 5 ou 10 (seuls diviseurs de 10 restant possibles). Le carré d'un élément d'ordre 10 étant d'ordre 5, parmi

se trouve au moins un élément d'ordre 5.

mouais bof...

par **ThSQ** » 14 Déc 2007, 22:33

yos a écrit:C'est bizarre : le fil de la discussion est confus. Je dois pas avoir les idées claires.

C'est en grande partie de ma faute : j'ai écrit des c*neries en voulant aller trop vite et j'ai préféré tout supprimer en attendant d'avoir le temps d'y revenir calmement :briques:

par **yos** » 14 Déc 2007, 22:41

leon1789 a écrit:Allez, je vais tenter un retournement "à la goldorak" On prend deux éléments non neutres et non inverses l'un de l'autre, et on pose c=ab. Alors {1,a,b,c} n'est pas isomorphe au groupe (4 ne divise pas 10). En particulier, parmi les éléments se trouve un élément d'ordre différent de 2, donc d'ordre 5 ou 10 (seuls diviseurs de 10 restant possibles). Le carré d'un élément d'ordre 10 étant d'ordre 5, parmi se trouve au moins un élément d'ordre 5.

mouais bof...

Attention : le négationnisme n'est pas loin.

par **leon1789** » 15 Déc 2007, 13:40

yos a écrit:Attention : le négationnisme n'est pas loin.

Oui, c'est vrai ! ...Ca doit être pour ça que je n'aime trop cette tentative de rédaction dans le sens direct. Je vais revoir ça, et si jamais..........

par **ThSQ** » 15 Déc 2007, 14:07

Syracuse, c'est quand même bizarre que vous n'ayez pas vu Lagrange !
C'est : l'ordre de tout sous-groupe divise l'ordre du groupe (pour un groupe fini).

Bon avec Lagrange quand même :

Si aucun élément n'est d'orde 5, tous les éléments sont d'ordre 2 :

ou

* G est commutatif :

* Soit H = = { e, a } un sous-groupe et H' = tq

Le groupe engendré par a et a' est ={e, a, a', a*a'} : c'est un groupe, il contient bien a et a' et c'est le plus petit possible.

G contient donc un sous-groupe d'ordre 4. C'est gênant car 4 ne divise pas 10.

par **Syracuse** » 15 Déc 2007, 14:33

Ah si, on ne lui a pas donné ce nom là.
Si a n'est pas d'ordre 5, il est d'ordre 1,2 ou 10 non ?

par **leon1789** » 15 Déc 2007, 14:38

Oui ThSQ, c'est bien l'argument qu'emploie aussi Yos.

-1- Soit G un groupe dont tous les éléments sont d'ordre 1 ou 2. Alors G est commutatif, et par suite son ordre est une puissance de 2.

-2- Si x est d'ordre w et d un diviseur quelconque de w, alors

est d'ordre d.

par **leon1789** » 15 Déc 2007, 14:40

Syracuse a écrit:Ah si, on ne lui a pas donné ce nom là.

ok :we:

Syracuse a écrit:Si a n'est pas d'ordre 5, il est d'ordre 1,2 ou 10 non ?

oui, et
si a est d'ordre 10, alors

est d'ordre 5 (et

d'ordre 2)

par **SimonB** » 15 Déc 2007, 14:47

ThSQ a écrit:Syracuse, c'est quand même bizarre que vous n'ayez pas vu Lagrange !

Totalement HP en sup officiellement.
Je l'avais vu à titre de joli résultat en dehors du cours (la démonstration est HP, même en spé... mais fortement recommandée pour X-ENS;) ).

par **ThSQ** » 15 Déc 2007, 14:50

leon1789 a écrit:Oui ThSQ, c'est bien l'argument qu'emploie aussi Yos.

C'est fort possible mais ce thread est tellement confus que j'ai rien lu à part l'énoncé initial.

par **ThSQ** » 15 Déc 2007, 14:52

SimonB a écrit:Totalement HP en sup officiellement.
Je l'avais vu à titre de joli résultat en dehors du cours (la démonstration est HP, même en spé... mais fortement recommandée pour X-ENS;) ).

Hein ? Lagrange HP ? t'es sûr ? (edit : ouais c'est vrai je viens de vérifier : http://www.prepas.org/ProgrammesCPGE/)

par **abcd22** » 15 Déc 2007, 15:51

Il n'y a même plus les actions de groupes sur des ensembles dans le nouveau (depuis la rentrée 2004, mais bon, moi j'étais dans l'année d'avant donc c'est « le nouveau programme ») programme de MP... :-( Les quotients non plus mais je crois que c'était déjà hors-programme avant ça. :-(

par **SimonB** » 15 Déc 2007, 16:59

abcd22 a écrit:Il n'y a même plus les actions de groupes sur des ensembles dans le nouveau (depuis la rentrée 2004, mais bon, moi j'étais dans l'année d'avant donc c'est « le nouveau programme ») programme de MP... Les quotients non plus mais je crois que c'était déjà hors-programme avant ça.

Les quotients, c'est n'importe quoi parce que Z/nZ est quand même défini. Pourquoi on l'appelle Z/nZ ? On ne vous le dira pas...
Les actions de groupes, c'est dommage parce que ça laisse sous silence des résultats importants dans l'année qui ne sont que des actions de groupes en fait. Mais on a vu pire.

par **ThSQ** » 15 Déc 2007, 18:37

SimonB a écrit:Les quotients, c'est n'importe quoi parce que Z/nZ est quand même défini. Pourquoi on l'appelle Z/nZ ? On ne vous le dira pas....

Dixit mon prof de sup : sans espace quotient pas d'algèbre, pas d'analyse, pas d'arithmétique, ..... pas de maths.

C'est vrai qu'on construit Z, Q, R, C par quotientage !

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