Action de groupe

[cece71]

Bonjour, j'aimerai un coup de main pour cet exercice, je ne vois pas trop par où commencer. :mur:

On appelle p-groupe un groupe dont le cardinal est une puissance non nulle d'un nombre premier 'p'.

1- Soit G un p-groupe. On suppose que G agit sur un ensemble X fini et on note I l'ensemble des points invariants de X sous G.

Montrer que |X|= |I| (mod p)

2- En déduire que le centre d'un p-groupe n'est pas réduit à {e} (faire agir G sur lui-meme par automorphisme intérieur) puis que l'indice du centre est divisible par p² (p premier)

Merci pour toutes réponses ou pistes.

[abcd22]

Bonjour,
Pour le 1, écrire que cardinal de X = somme des cardinaux des orbites de X sous l'action de G. Les orbites de cardinal 1 sont les points invariants.

[Joker62]

Salut

On a l'équation de classe


Où O_i est une orbite de cardinal supérieur à 2
Ne pas oublier que
|O_i| = (G:Stab(x_i)) où x_i est un représentant de l'orbite

Pour la 2), suivre les indications

[cece71]

ok, merci beaucoup!je vais "essayé" de faire ca...