Anneau/algebre de parties

[RadarX]

Bonjour tout le monde,

je voudrais éclaircir la définition d'un "anneau de parties d'un ensemble E". Je veux bien que vous me disiez ce que vous en savez.
Dans le dico de maths "Alain bouvier ..." il est dit que c'est un ensemble de parties de E qui est stable par la réunion et la différence.
En gros A et B ==> A u B et A (complémentaire de B) .
ils ajoutent qu'on montre que est stable par intersection et que l'ens vide .
Mais Vide ne se montre que si dans la definition on rajoute au prealable different de vide.

Alors cela m'a dérangé qu'il n'ait pas été précisé différent de l’ens vide. Car ce n'est pas du tout une habitude en maths d'ommetre de telles precisions, a fortiori pour un dictionnaire de mathematiques.

C'est d'autant plus bizarre au niveau de la coherence qu'apres ils definissent une algebre de parties de E comme un anneau de partie contenant E lui meme (precision cette fois-ci inutile car c'est acquis pour tout anneau de parties) ainsi de suite...

Merci d'avance.

[yos]

On peut s'en passer. Stable par réunion quelconque signifie que pour toute famille de parties, . Si tu prends pour I l'ensemble vide, tu obtiens que .
Bref tu fais la réunion d'une famille vide.

On a la même chose dans la définition d'une topologie T sur un ensemble X : c'est une partie T de P(X) stable par réunion qcq et par intersection finie.

Une conséquence est que et X sont des ouverts.

Certains auteurs trouvent que c'est tordu et préfèrent donner dans le pléonasme en rajoutant les axiomes .
C'est vrai que ça coûte pas plus cher.

[RadarX]

On peut s'en passer. Stable par réunion quelconque signifie que pour toute famille de parties, . Si tu prends pour I l'ensemble vide, tu obtiens que .
Bref tu fais la réunion d'une famille vide.

On a la même chose dans la définition d'une topologie T sur un ensemble X : c'est une partie T de P(X) stable par réunion qcq et par intersection finie.

Une conséquence est que et X sont des ouverts.

Certains auteurs trouvent que c'est tordu et préfèrent donner dans le pléonasme en rajoutant les axiomes .
C'est vrai que ça coûte pas plus cher.

Euh... je reste quand meme perplexe.
Limitons nous a la definition de l'anneau de parties. Je ne sais pas si l'interpretation que tu fais de la stabilité par reunion est bonne! Moi,je la vois ainsi
==> .
Et supposant la reunion qcq et en prenant la tienne, il faudrait d'abord supposer les . Or on veut mq est non vide.

[legeniedesalpages]

==> .

ça c'est une réunion finie, une réunion quelconque c'est plus général.

[legeniedesalpages]

d'ailleurs j'ai ce dico, je l'aime pas vraiment, je sais pas si il est vraiment utile, d'ailleurs je crois que j'avais cherché ces définitions dessus, j'ai eu l'impression d'avoir perdu mon temps :lol:

[yos]

Je ne sais pas si l'interpretation que tu fais de la stabilité par reunion est bonne!

Sache que si c'était la mienne, je n'en parlerais pas : ouvre un bouquin de topologie.

[RadarX]

legeniedesalpages:
Ceci est une reunion finie

Ben oui, je le sais bien qu'il s'agit d'une reunion finie dans mon interprtetation. Et je me suis reservé ce choix de poser la stabilité par reunion finie parce justement dans le dico il n'ont pas insisté sur le caractere quelconque de la reunion.

legeniedesalpages:
D'ailleurs j'ai ce dico, je l'aime pas vraiment, je sais pas si il est vraiment utile, d'ailleurs je crois que j'avais cherché ces définitions...

Il ne te convient peut etre pas, je peux le comprendr; mais moi, je l'avais beaucoup utilisé a la BU, et il faisait tellement l'affaire dans mes études que je me le suis acheté. Et il continue globalement à faire l'affaire. Apres c'est une histoire de ... ce qu'on recherche, de methode propre de travail; Cela peut etre tres personnel!
Il n'est certainement pas parfait; et dans le cas de la definition de ce post, je suspecte une erreur d'omission et je cherche une confirmation(ou une infirmation d'ailleurs).

YOS:
Sache que si c'était la mienne, je n'en parlerais pas : ouvre un bouquin de topologie.

Oui oui!!! Je me doute que ce n'est pas la tienne!!! Mais je suis quand meme ton conseil. Et quand j'ouvre par exemple Gustave CHOQUET (une reference en topo), on y donne la definition classique d'une topologie:
1. Toute reunion (finie ou non) (donc qcq) d'ouvets est un ouvert.
2. toute intersection finie d'ouverts est ouverte
mais on precise quand meme que
3. E et sont des ouverts.

Vois-tu? on a quand meme rajouté une hypothèse qui nous assure que la topologie est non vide.

[yos]

C'est parce que Choquet donne dans le pléonasme (consciemment). Il était assez critique vis-à-vis du mouvement bourbakiste.

Mais je le redis :
- une réunion quelconque, c'est en particulier une réunion vide (qui vaut l'ensemble vide);
- une intersection finie, c'est en particulier une intersection vide (qui vaut E tout entier).

Mais c'est du détail.

[yos]

Bon j'ai feuilleté les quelques livres qui parlent de topologie générale que je possède, et seul Bourbaki donne cette définition a minima. C'était le cas aussi de mon prof de licence. Les autres (Choquet, Lang, Monasse) rajoutent la condition que vide et E appartiennent à T.
Dans le cas de Monasse, c'est pour simplifier la formulation car il parle d'intersection de deux parties uniquement.
J'en profite pour mettre ce lien intéressant sur Bourbaki :
http://portail.mathdoc.fr/archives-bourbaki

[RadarX]

Bon j'ai feuilleté les quelques livres ...
Dans le cas de Monasse...
J'en profite pour mettre ce lien intéressant sur Bourbaki :
http://portail.mathdoc.fr/archives-bourbaki

Monasse ? C'est qui??
Enfin, foin de références! J'avais deja rencontré cette facon "moins redondante" de definir certaines structures (en l'occurence l'esp topo). Je retiens donc de ce que tu as dit (ou que d'autres ont dit) que .
Est-ce une convention, un axiome ou cela se démontre-t-il? Je n'ai pas de bouquin de théorie des ensembles avec moi.
Par ailleurs, dans cette maniere minimale de definir un E.T. (par exemple), on part d'une famille (a priori non vide) de parties et on dit:

" On se donne une famille (que je presume non vide) (je ne sais pas pkoi d'ailleurs; je devrais douter de cela!) d'ensembles

1. toute reunion de est un
2. toute intersection est un
3. l'espace E lui meme est un "

On a donc bien une famille de depart à laquelle on impose nos axiomes.

Je resume mon pb de nouveau:
Peut-on parler de reunion de parties dans une famille dont on n'est pas sur qu'elle est non vide???? Je ne vois pas quelle reunion serait alors possible!!

Enfin je suis bien content de decouvrir ce portail Bourbaki!

[legeniedesalpages]

.
Est-ce une convention, un axiome ou cela se démontre-t-il? Je n'ai pas de bouquin de théorie des ensembles avec moi.

C'est bien une convention, dans tout monoïde (munit d'un élément neutre, je fais peut être de la redondance ) on convient que la loi indexée par l'ensemble vide est égale à l'élément neutre.

Ici dans l'élément neutre est ,

mais aussi:

dans l'élément neutre est , l'intersection vide fait E,

dans , la somme vide est égal à 0.

dans , le produit vide est égal à 1, les conventions du type et en résulte.

[RadarX]

C'est bien une convention, dans tout monoïde (munit d'un élément neutre, je fais peut être de la redondance ) on convient que la loi indexée par l'ensemble vide est égale à l'élément neutre.

Ici dans l'élément neutre est ,

mais aussi:

dans l'élément neutre est , l'intersection vide fait E,

dans , la somme vide est égal à 0.

dans , le produit vide est égal à 1, les conventions du type et en résulte.

merci de la reaction rapide; cela m'avance un peu!! Dire que je ne l'apprend seulement qu'aujourd'hui!!! Pfffffffffff!

[legeniedesalpages]

ben moi je l'ai appris il y a pas longtemps non plus, et puis bon c'est un cas limite.

Je resume mon pb de nouveau:
Peut-on parler de reunion de parties dans une famille dont on n'est pas sur qu'elle est non vide???? Je ne vois pas quelle reunion serait alors possible!!

Enfin je suis bien content de decouvrir ce portail Bourbaki!

dans la définition que j'ai toujours employé (celle du dixmier 1er année) on impose pas que l'ensemble d'indices soit non vide, donc il n'y a pas de souci.

J'ai vu une autre définition de famille il y a pas longtemps en topo, je la recherche.


Bon désolé, je ne le retrouve pas.