Etude d'un endomorphisme

[mattrisse]

Bonjour à toutes et tous,

voilà quelques questions sur lesquelles je bloque vraiment... si quelqu'un pouvait m'aider...

Soient A et B 2 matrices de E et psyA,B un endomorphisme de E défini par psyA,B (M) = A.M.t(B) où t(B) est la transposée de B.

- Déterminer en fonction des rangs r et s de A et B le rang de l'endomorphisme psyA,B
- Démontrer que si V et W sont des vecteurs propres de A et B, la matrice V.t(W) est vecteur propre de psyA,B
- On suppose que psyA,B est orthogonale. En utilisant des matrices de rang 1, établir qu'il y a une relation simple pour tout couple de vecteurs X et Y de R^n entre ||A.X||².||B.X||² et ||X||².||Y||²

Merci beaucoup à ceux qui prendront un peu de leur temps pour me répondre!

[Galt]

J'ai un peu songé à ce problème (mais pas trop). J'ai l'impression que le rang de cet endomorphisme est égal au produit des rangs de A et B. Je n'ai pas de preuve encore, mais je sais que a pour rang nrang (A) (on peut par exemple voir la matrice de cette application dans la base canonique de ) etde même pour a pour rang nrang(B)
La deuxième question semble évidente, puisque
Pour la troisième question, j'ai l'impression qu'il faut utiliser les matrices qui ont des images assez simples par , mais sans avoir fait le moindre calcul
J'y réfléchis dès que j'ai un peu de temps
A bientôt