Complexes

[dudumath]

BOnjour, j'ai un dm a faire:

On pose P(z)=z^4-3z^3+9/2*z²-3z+1

1) démontrer que si le complexe a est solution de P(z)=0, il en est de meme pour (a barre)(désolé je ne sais pas faire de barre sur les lettres, on parle ici du conjugué de a) et pour 1/a

2)Calculer P(1+i). En déduire la résolution de l'équation P(z)=0

3) Ecrire P(z) sous la forme d'un produit de deux polynome du second degré a coefficient réel.

j'ai trouvé les questions 2 et 3 qui étaient triviales mais que j'avais eu des problèmes pour la 1ere. En effet, j'ai essayé de poser z=x+iy et de développer, ce qui ne m'a mener a rien(ou alors plutot a quelquechose dont je n'ai su me servir), j'ai ensuite essayer de dire que a est solution de P(z) = 0 <=> P(z)= (z-a)(bz^3+cz²+dz+e) et en faisant une identification de coefficient je n'ai pas non plus trouvé la réponse.

MErci de votre aide

[hellow3]

bonjour
pour a(barre):
tu sais que (1): a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1=0
sois (2): a(barre)^4-3a(barre)^3+9/2*a(barre)²-3a(barre)+1

fais (1)+(2):
Si tu remarques que pour tout complexe, b+b(barre)=2Re(b) ou Re(b) est la partie reelle de b, ...

pour 1/a:
(1/a)^4-3(1/a)^3+9/2*(1/a)²-3(1/a)+1
multiplie tout par a^4, qu'est-ce qui se passe?

[dudumath]

bonjour
pour a(barre):
tu sais que (1): a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1=0
sois (2): a(barre)^4-3a(barre)^3+9/2*a(barre)²-3a(barre)+1

fais (1)+(2):
Si tu remarques que pour tout complexe, b+b(barre)=2Re(b) ou Re(b) est la partie reelle de b, ...
Or si on pose b=a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1, on a 2Re(b)=0donc (1)=-(2)
donc a(barre)^4-3a(barre)^3+9/2*a(barre)²-3a(barre)+1=0

pour 1/a:
(1/a)^4-3(1/a)^3+9/2*(1/a)²-3(1/a)+1
multiplie tout par a^4, qu'est-ce qui se passe?
P(1/a)=P(a), c'est magique!!

Je vous remercie

[kadg]

bonjour,
pour la question 1, je pense qu'il y a encore plus simple :

on sait que a est solution, donc a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1=0
j'en déduis que [ a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1] barre =0 (barre)
et d'après les propriétés des conjugués :
a (barre)^4 -3a (barre)^3 +9/2 a (barre)^2 -3a (barre )+1 =0
ce qui signifie que a barre est solution de l'équation p(z) = 0
Cordialement

[kadg]

pour 1/a

on sait que a est solution, donc a^4-3a^3+9/2*a²-3a+1=0
en divisant tous les termes par a^4 avec a non nul,
on obtient :

1-3(1/a)+(9/2)(1/a)^2 -3(1/a)^3+(1/a)^4 = 0
ce qui signifie que p(1/a) =0

[dudumath]

merci de ta réponse, j'avais ensuite remarqué ces informations ( j'avais raisonné a l'envers)