Le sujet est à rendre pour vendredi prochain, au minimum
Il se décompose en 2 exercice dont voila les énoncés :
Exercice 1 :
Le pla, complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O, u, v )
Soient A le point d'affixe i et B le point d'affixe -i
Soit f la fonction définie sur C/{i} par f(z) = (1 - iz ) / (z - i)
1. Vérifier que pour tout z de C/{i} on a f(z) = -i + 2/(z - i)
2. a) Démontrer que - i n'a pas d'antécédent par f
b) Déterminer les antécédents de 0 et de i par f
3. A tout point M d'affixe z , M distinct de A, on associe le point M' d'affixe z' tel que z' = f(z)
a) Démontrer que pour tout point M différent de A, on a AM * BM' = 2
b) Monter que lorsque le point M décrit le cercle C ( le C caligraphique, pas celui qui représente l'ensemble complexe ) de centre A et de rayon 4 , le point M' se déplace sur un cercle C' dont on précisera le centre et le rayon.
4. Déterminer l'ensemble E1 des points M(z) tels que le module de z' soit égal à 1
( on pourra remarquer que z' = (-i(z+i) ) / ( z - i ) )
5. a) Déterminer l'ensemble E2 des points M ( z) tels que z - i soit un nombre réel non nul
b) Montrer que lorsque le point M décrit l'ensemble E2 , le point M' se déplace sur une droite
que l'on précisera.c) Lorsque le point M décrit l'ensemble E2 , le point M' décrit-il toute la droite
?Exercice 2 :
A tout nombre complexe z = x + yi , où x et y désignent la partie réelle et la partie imaginaire de z, on associe le nombre complexe f(z) = ey [cos (PIx) + i sin(PIx) ]
2. a) Pour tout nombre complexe z = x + yi , démontrer que f(z) est non nul
b) Déterminer en fonction de x et de y , le moduel et argument de f(z)
3. a) Démontrer que pour tous les nombres complexes z et z' , f(z+z') = f(z) * f(z') et que f(z - z') = f(z) / f(z')
b) Démontrer que pour tout entier relatif n, pour tout nombre complexe z, f(nz) = [f(z)]^n
4. Soit A le point du plan d'affixee w = 1 + i . Soient B , C et D les points d'affixes respectives /w , -w et -/w
a) Déterminer l'ensemble K des points du plan dont l'affixe z = x + yi vérifie
{ |x|
1{ |y| = 1
puis déterminer l'ensemble K' des point du plan dont l'affixe f(z) , où z est l'affixe d'un élément de K
b) Déterminer l'ensemble L des points du plan dont l'affixe z = x + yi vérifie
{ |x|
1{ |y|
1puis déteriner l'ensemble L' des points du plan d'affixe f(z), où z est l'affixe d'un élément de L
Je vais éssayer de scanner ça car je comprends que ce n'est pas agreable à lire :/
Merci beaucoup et bonne journée! !