Un ensemble de Lebesgue non mesurable

[legeniedesalpages]

Bonsoir, je bloque sur cet exercice:

On définit sur la relation d'équivalence par



Soit tel que contient un et un seul élément de chacune des classes d'équivalence de .

1) Montrer que forme une famille d'ensembles disjoints.

2) On considère . Montrer que .

3) On suppose que .

(a) Montrer que l'on a nécessairement



(b) Quelles sont les valeurs possibles de ?

(c) En utilisant 2, montrer que l'on aboutit à une contradiction.

Donc pour la 1), c'est bon mais ensuite je bloque sur la 2) déjà sur l'inclusion de gauche,

merci pour votre aide

[legeniedesalpages]

En fait mon problème est surtout à ce niveau:

On considère , on veut donc montrer qu'il existe et tel que ,

je pensais prendre tel que , on sait qu'il en existe exactement un dans ,
mais après comment pouvoir affirmer que - ?

[legeniedesalpages]

non en fait c'est bon, j'ai pas bien lu l'énoncé, j'avais pas fait gaffe que

[legeniedesalpages]

pour la 3b par contre, je tilte pas :hein:

[legeniedesalpages]

non pardon, j'ai encore posté trop vite oui, c'est 0 ou plus l'infini.

Désolé :marteau:

[tize]

Bonjour legénie,
c'est un exercice très classique :

2) les éléments de C sont majorés par 1 et minorés par 0 et les rationnels sont pris dans [-1;1] donc pour tout et tout , alors ce qui est impossible car et on devrait donc avoir

[serge75]

Dans ta question 3a, ne s'agirait-il pas plutôt des lambda(C+q)

[tize]

Dans ta question 3a, ne s'agirait-il pas plutôt des lambda(C+q)

ou c'est la même chose puisque la mesure de Lebesgue est invariante par translation...

[legeniedesalpages]

merci Tize, c'est bien ce que j'avais trouvé.

Juste une chose, pour affirmer l'existence de , on a besoin de l'axiome du choix, c'est bien ça?

[tize]

merci Tize, c'est bien ce que j'avais trouvé.

Juste une chose, pour affirmer l'existence de , on a besoin de l'axiome du choix, c'est bien ça?

Tout à fait, sans l'axiome du choix (non dénombrable) on peut pas...

[legeniedesalpages]

oui dénombrable c'est vrai,

et sans utiliser l'axiome du choix on ne peut pas trouver une partie réelle qui ne soit pas un borélien?
Si c'est le cas c'est pour ça qu'on peut dire tout en restant rigoureux que toutes les parties réelles qu'on rencontre en pratique sont des boréliens?

[tize]

Je ne connais aucune méthode ne faisant pas appelle à l'axiome du choix pour exhiber un non borélien et je ne pense pas que cela soit possible sans l'axiome du choix ou un équivalent (Lemme Zorn,...)
Après, dans la pratique...je ne me mouillerai pas à dire que toutes les parties de R que l'on rencontre sont des boréliens, après tout la pratique vient de te montrer le contraire...

[legeniedesalpages]

Je ne connais aucune méthode ne faisant pas appelle à l'axiome du choix pour exhiber un non borélien et je ne pense pas que cela soit possible sans l'axiome du choix ou un équivalent (Lemme Zorn,...)
Après, dans la pratique...je ne me mouillerai pas à dire que toutes les parties de R que l'on rencontre sont des boréliens, après tout la pratique vient de te montrer le contraire...

Non c'est juste une définition qui a été donnée dans mon cours d'intégration de deuxième année (Dixmier 2e année), pour ne pas rentrer plus dans les détails de la théorie de la mesure, et je trouvais étonnant de rencontrer une définition qui paraît aussi peu "mathématique".

Et peut être que c'aurait été l'explication pour ce choix de définition. Je pense que par "pratique" on sous-entend les ensembles où l'on peut déterminer les éléments, ce qui n'est pas le cas de C ici, non?

[tize]

Effectivement, on sait théoriquement qu'ils existent, on sait même comment les définir (avec les classes modulo ~) mais comme ils sont non dénombrables, il est difficile de les imaginer, on ne sait pas trop comment ils sont répartie dans [0,1]...

[legeniedesalpages]

En tout cas merci pour ton aide,
la théorie de la mesure c'est vraiment pas évident je trouve :(