équation différentielle

[arnaudrou]

Bonjour,

Qui peut m'aider à faire cet exercice là je ne pige pas du tout et c'est pas faute d'essayer...

Partie A.

On se propose de résoudre l'équation différentielle (E) : y' +y = x + 1.

a.Soit f une fonction quelconque dérivable sur R et f1 une fonction solution de (E). Montrer quel est solution de (E) si et seulement si la fonction f — f1 vérifie une équation différentielle (F) que l'on précisera.

b.Trouver une fonction f1 solution de (E).

c. Résoudre (F). En déduire les solutions de l'équation différentielle (E) .

Partie B.

Soit a un réel. On appelle fa la solution de (E) telle que fa(0)= a et Ca la courbe représentative de fa.

a.Etudier les variations de fa.

b.Donner l'allure de Ca dans les trois cas suivants :a<0,a=0,a> 0.

c.Montrer que, pour tout réel a, la tangente à Ca au point d'abscisse -1 passe par l'origine du repère.

d.Plus généralement, nous allons montrer que toutes les tangentes aux courbes Ca en un point d'abscisse x0 donnée se coupent sur C0.

dl. Donner une équation de Ta , tangente à Ca au point d'abscisse x0.

d2. Déterminer les coordonnées du point d'intersection de Ta et Tb pour a différent de b et conclure.


Merci d'avance à tous

[hellow3]

Salut.

A.
a.
Soit f une fonction quelconque dérivable sur R et f1 une fonction solution de (E). f1 solution de (E): f'1(x) + f1(x) = x+1

Montrer que f est solution de (E)
si et seulement si
la fonction f — f1 vérifie une équation différentielle (F) que l'on précisera.


f solution de (E)
<-> f'(x) + f(x) = x+1
<-> ...
Et tu veux arriver par des equivalences à:
<-> ...
<-> fonction f — f1 vérifie une équation différentielle (F) que l'on précisera.

Comme on s'intéresse à la fonction f - f1, essayons de la "construire":
En soustrayant f'(x) + f(x) = x+1 et f'1(x) + f1(x) = x+1.
f'(x) + f(x) -f'1(x) - f1(x) = x+1 - (x+1)
(f'(x) - f'1(x)) +(f(x) - f1(x)) = x+1 - (x+1)
(f'-f'1)(x) +(f-f1)(x) = 0
f-f1 est solution de l'equation differentielle: y'+y=0

b. On demande une fonction sans préciser...
y'+y = x+1
j'ai envie de prendre f1(x)=x avec f1'(x)'=1 ca marche.

c.
(F): y'+y=0 les solutions sont les fonctions Ke(x) ou k est une constante.
Comme (f-f1) solution de (F) <-> f1 solution de (E)
...

[arnaudrou]

Merci de ton aide, cependant je ne comprends pas la c), comment en déduire les solutions de l'équa diff??

[hellow3]

Tu sais que f1 est solution de (E) ssi (f-f1) solution de (F)

Les solutions de (F) sont: Ke(x)
Donc (f-f1)(x)=Ke(x)
Comme f1(x)=x,
et f(x)-f1(x)=Ke(x),

f(x)=Ke(x) +x

[Antho07]

Merci de ton aide, cependant je ne comprends pas la c), comment en déduire les solutions de l'équa diff??

C'est normalement du cours cela:

Les solutions à l'equations ay'+by=0 sont de la forme Ke^((-b/a)x).

On va le montrer sur ton equation:

y'+y=0
On mutilplie par e^x

y'e^x+ye^x=0 (*)

or on remarque que (ye^x)'=y'e^x+ye^x.

Donc en integrant (*) de chaque cote, on obtient:

ye^x=K (K est une constante)

soit y=K/e^x=Ke^-x.

voila

[arnaudrou]

Merci, je comprends mieux maintenant, un petit coup de main pour la partie B ne serai pas de refus! :triste:

[hellow3]

Comme l'a fait remarquer Antho07, les solutions de (E) sont: f(x)=Ke(-x) +x

On cherche fa:
fa(0)=a, donc: fa(0)=K*e(0)+0=K
donc K=a,
et fa(x)=ae(-x) +x

[arnaudrou]

Comment étudier les variations de ca?

[hellow3]

Classique: dérivée, tableau de variation ...

[arnaudrou]

oui justement la dérivée me pose problème, c'est bien;

f'a(x) = a-e^(-x) +1

?? Quel est le signe de ca?

[hellow3]

f'a(x) = -ae^(-x) +1

f'a(x)>0 si -ae^(-x)+1>0
-ae^(-x)>-1
Plusieurs cas en fonction de a:

si a>0:
e^(-x)<1/a
-x< ln(1/a)
x>-ln(1/a)
x>ln(a)
La dérivée est positive sur ]ln(a);+inf[

si a<0:
e^(-x)>1/a ou 1/a est un nombre negatif, c'est toujours vrai.


si a=0: fa(x)=x.